陕西省咸阳市2021-2022学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2022-11-17 类型：期末考试

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一、单选题

1. 不等式 $\frac{x - 2}{x + 4} < 0$ 的解集为（）

A、 ${x | - 4 < x < 2}$ B、 ${x | - 2 < x < 4}$ C、 ${x | x > 4$ 或 $x < 2}$ D、 ${x | x > 2$ 或 $x < - 4}$

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2. 命题“ $\exists x \in R ， | x | - 2 \leq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R ， | x | - 2 \geq 0$ B、 $\exists x \in R ， | x | - 2 > 0$ C、 $\forall x \in R ， | x | - 2 > 0$ D、 $\forall x \in R ， | x | - 2 \leq 0$

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3. 已知 $m < 0 < n$ ，则下列说法中一定正确的是（）

A、 $m^{2} > n^{2}$ B、 $\frac{1}{m} < \frac{1}{n}$ C、 $m n > m^{2}$ D、 $\sqrt{- m} < \sqrt{n}$

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4. 焦点坐标为 $(0 ， - 4)$ ，（0，4），且长半轴 $a = 6$ 的椭圆方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{20} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{20} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{36} = 1$

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5. 若两个不同平面 $α$ ， $β$ 的法向量分别为 $\vec{u} = (1 ， 2 ， - 1)$ ， $\vec{v} = (- 2 ， 2 ， 2)$ ，则（）

A、 $α$ ， $β$ 相交但不垂直 B、 $a ⊥ β$ C、 $a ∥ β$ D、以上均不正确

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6. 中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：“今有俸粮三百零五石，令五等官（正一品、从一品、正二品、从二品、正三品）依品递差十三石分之，问，各若干？”其大意是，现有俸粮305石，分给正一品、从一品、正二品、从二品、正三品这5位官员，依照品级递减13石分这些俸粮，问，每个人各分得多少俸粮？在这个问题中，正三品分得俸粮是（）

A、74石 B、61石 C、48石 D、35石

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7. 如图，在四面体 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，点 $D$ 为 $A C$ 的中点， $3 \vec{O E} = \vec{O D}$ ，则 $\vec{B E} =$ （）

A、 $\frac{1}{12} \vec{a} - \vec{b} + \frac{1}{12} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{6} \vec{a} - \vec{b} + \frac{1}{6} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{a} - \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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8. 已知 $a ， b$ 是两条不同的直线， $α ， β$ 是两个不同的平面，且 $a ⊥ α$ ， $α ⊥ β$ ，则“ $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ”是“ $b ⊥ β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分又不必要条件

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9. 已知等比数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足公比0＜q＜1， $b_{1}$ ＜0，则下列说法不正确的是（）

A、 $S_{n}$ 一定单调递减 B、 $b_{n}$ 一定单调递增 C、式子 $b_{n}$ - $S_{n}$ ≥0恒成立 D、可能满足 $b_{k}$ = $S_{k}$ ，且k≠1

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10. 彬塔，又称开元寺塔、彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于陕西省彬县城内西南紫薇山下.某同学为测量彬塔的高度 $A B$ ，选取了与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个测量基点 $C$ 与 $D$ ，现测得 $∠ B C D = 15 °$ ， $∠ B D C = 135 °$ ， $C D = 20 m$ ，在点 $C$ 测得塔顶 $A$ 的仰角为60°，则塔高 $A B =$ （）

A、30m B、 $20 \sqrt{2} m$ C、 $20 \sqrt{3} m$ D、 $20 \sqrt{6} m$

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11. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点分别是 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ ，点 $F_{1}$ 关于渐近线 $b x - a y = 0$ 的对称点恰好落在圆 ${(x - c)}^{2} + y^{2} = c^{2}$ 上，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、3

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二、多选题

12. 已知命题p：若双曲线C： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的实轴长大于虚轴长，则 $- 4 < m < 0$ ；命题q： $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是三个不同的向量，若 $\vec{a}$ $∥$ $\vec{b}$ ， $\vec{b}$ $∥$ $\vec{c}$ ，则 $\vec{a}$ $∥$ $\vec{c}$ .则下列命题中为真命题的是（）

A、 $p \land q$ B、 $(\neg p) \lor q$ C、 $p \land (\neg q)$ D、 $(\neg p) \lor (\neg q)$

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三、填空题

13. 已知抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的焦点为F，若抛物线上一点P到x轴的距离为2，则|PF|的值为.

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14. 若正实数 $a ， b$ 满足 $a + b = 4$ ，则 $a b$ 的最大值是．

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15. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的两焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， P为双曲线C上一点，若 $| P F_{1} | = 10$ ，则 $| P F_{2} |$ =.

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16. 如图是一个无盖的正方体盒子展开图，A，B，C，D是展开图上的四点，BD则在正方体盒子中，AD与平面ABC所成角的正弦值为.

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四、解答题

17. 设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c， $a = 2 b \sin A$ .

(1)、求B的大小．

(2)、若 $a = 3 \sqrt{3}$ ， $c = 5$ ，求b.

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18. 已知关于x的不等式 $2 k x^{2} + k x - \frac{3}{8} < 0$ ， $k \neq 0$ .

(1)、若 $k = \frac{1}{8}$ ，求不等式 $2 k x^{2} + k x - \frac{3}{8} < 0$ 的解集；

(2)、若不等式 $2 k x^{2} + k x - \frac{3}{8} < 0$ 的解集为R，求k的取值范围.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公比为正数的等比数列，且 $a_{1} = 2$ ， $a_{3} = a_{2} + 4$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \log_{2} a_{n}$ ，求数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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20. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 经过点（1，-1）.

(1)、求抛物线C的方程及其焦点坐标；

(2)、过抛物线C上一动点P作圆M： ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 的一条切线，切点为A，求切线长|PA|的最小值.

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21. 如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD=2，E，F分别为AD和PB的中点.请用空间向量知识解答下列问题：

(1)、求证：EF//平面PDC；

(2)、求平面EFC与平面PBD夹角的余弦值.

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22. 已知点 $F_{1}$ ､ $F_{2}$ 分别是椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ）的左､右焦点，点P在椭圆C上，当∠PF₁F₂= $\frac{π}{3}$ 时， $△ P F_{1} F_{2}$ 面积达到最大，且最大值为 $\sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、设直线l： $x = m y + 1$ 与椭圆C交于A､B两点，求 $△ A B F_{1}$ 面积的最大值.

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