陕西省西安市阎良区2021-2022学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2022-11-17 类型：期末考试

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一、单选题

1. 命题“ $\forall x \in R$ ， $2^{x} > x^{2}$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $2^{x} = x^{2}$ B、 $\exists x \in R$ ， $2^{x} > x^{2}$ C、 $\forall x \in R$ ， $2^{x} \leq x^{2}$ D、 $\exists x \in R$ ， $2^{x} \leq x^{2}$

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2. 抛物线 $x^{2} = 2 y$ 的准线方程为（）

A、 $x = - 1$ B、 $x = - \frac{1}{2}$ C、 $y = - 1$ D、 $y = - \frac{1}{2}$

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3. 已知 $a < b$ ， $a \neq 0$ ， $b \neq 0$ ， $c \in R$ ，则下列不等关系正确的是（）

A、 $a^{2} < b^{2}$ B、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ C、 $a - c < b - c$ D、 $a c < b c$

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4. 设平面 $α$ 的法向量为 $\vec{a} = (x ， 1 ， - 2)$ ，平面 $β$ 的法向量为 $\vec{b} = (1 ， x ， x - 3)$ ，若 $α / / β$ ，则 $x$ 的值为（）

A、-5 B、-3 C、1 D、7

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5. 已知双曲线C ： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ - $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1的焦距为10 ，点P （2，1）在C 的渐近线上，则C的方程为( )

A、 $\frac{x^{2}}{20}$ - $\frac{y^{2}}{5}$ =1 B、 $\frac{x^{2}}{5}$ - $\frac{y^{2}}{20}$ =1 C、 $\frac{x^{2}}{80}$ - $\frac{y^{2}}{20}$ =1 D、 $\frac{x^{2}}{20}$ - $\frac{y^{2}}{80}$ =1

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6. 已知公比不为1的等比数列 ${a_{n}}$ ，其前n项和为 $S_{n}$ ， $\frac{S_{4}}{S_{2}} = 5$ ，则 $\frac{a_{4}}{a_{2}} =$ （）

A、2 B、4 C、5 D、25

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7. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 是线段 $D_{1} B$ 上一点，且 $B P = 2 D_{1} P$ ，若 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A D} + z \vec{A A_{1}}$ ，则 $x + y + z =$ （）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、1

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，则“ ${a_{n}}$ 为常数列”是“ $a_{1} ， a_{2} ， a_{3}$ 成等差数列”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 在 $Δ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若 $2 a = b + c$ ， $\sin^{2} A = \sin B \sin C$ ，则 $Δ A B C$ 的形状为（）

A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰或直角三角形

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10. 已知命题 $p$ ：△ $A B C$ 中，若 $\sin A = \frac{1}{2}$ ，则 $A = \frac{π}{6}$ ；命题 $q$ ：函数 $f (x) = \sin x + \frac{2}{\sin x}$ ， $x \in [- \frac{π}{2} ， 0)$ ，则 $f (x)$ 的最大值为 $- 3$ .则下列命题是真命题的是（）

A、 $(\neg p) \land q$ B、 $p \land q$ C、 $p \lor (\neg q)$ D、 $(\neg p) \land (\neg q)$

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11. 世界上最早在理论上计算出“十二平均律”的是我国明代杰出的律学家朱载堉，他当时称这种律制为“新法密率”十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都相等，且最后一个单音是第一个单音频率的2倍.已知第十个单音的频率 $f_{10} = 440 Hz$ ，则与第四个单音的频率 $f_{4}$ 最接近的是（）

A、880 $Hz$ B、622 $Hz$ C、311 $Hz$ D、220 $Hz$

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12. 直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，△ABC为等边三角形， AA₁＝AB ， M是A₁C₁的中点，则AM与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{7}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{85}}{10}$ D、 $- \frac{\sqrt{15}}{10}$

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二、填空题

13. 不等式 $\frac{x + 2}{x - 1} \leq 0$ 的解集是.

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14. 焦点在 $y$ 轴上的双曲线 $y^{2} - m x^{2} = 1$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，则 $m$ 的值为.

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15. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - 2 y - 2 \leq 0 \\ x - y + 1 \geq 0 \\ y \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = 3 x + 2 y$ 的最大值为．

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16. 如图，已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆的左、右焦点，现以 $F_{2}$ 为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点 $M$ ， $N$ ．若过点 $F_{1}$ 的直线 $M F_{1}$ 是圆 $F_{2}$ 的切线，则椭圆的离心率为

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三、解答题

17. 已知函数 $y = - x^{2} + a x - 6$ .

(1)、当 $a = 5$ 时，解不等式 $y < 0$ ；

(2)、若不等式 $y \leq 0$ 的解集为 $R$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 在 $△ A B C$ 中， $a = 7$ ， $b = 8$ ，请再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，然后解答下列问题.
条件①： $c = 3$ ；条件②： $\cos B = - \frac{1}{7}$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 已知公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 2$ 且 $a_{1} ， a_{2} ， a_{5}$ 成等比数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，求证 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 是等差数列．

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20. 已知椭圆 $E$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ 有共同的焦点，且椭圆 $E$ 经过点 $A (1 ， - \frac{3}{2})$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、设 $F$ 为椭圆 $E$ 的左焦点， $M$ 为椭圆 $E$ 上任意一点， $O$ 为坐标原点，求 $\vec{O M} \cdot \vec{F M}$ 的最小值.

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B ∥ D C$ ， $D A ⊥ A B$ ， $A B = A P = 2$ ， $D A = D C = 1$ ， $E$ 为 $P C$ 上一点，且 $P E = \frac{2}{3} P C$ .请用空间向量知识解答下列问题：

(1)、求证： $A E ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求平面 $A E B$ 与平面 $A E D$ 夹角的大小.

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22. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，抛物线 $C$ 上的点 $A$ 的横坐标为1，且 $| A F | = \frac{5}{4}$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、过焦点 $F$ 作两条相互垂直的直线（斜率均存在），分别与抛物线 $C$ 交于 $M$ ､ $N$ 和 $P$ ､ $Q$ 四点，求四边形 $M P N Q$ 面积的最小值.

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