陕西省渭南市临渭区2021-2022学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2022-11-17 类型：期末考试

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一、单选题

1. 不等式 $\frac{x - 1}{x} \leq 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， 0) \cup [1 ， + \infty)$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 0)$ D、 $(0 ， 1]$

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2. 已知 $M$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 上的一点，则点 $M$ 到两焦点的距离之和是（）

A、6 B、9 C、14 D、10

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3. 命题“ $\forall x > 1$ ， $x^{2} - 2 > 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x > 1$ ， $x^{2} - 2 \leq 0$ B、 $\forall x < 1$ ， $x^{2} - 2 > 0$ C、 $\exists x \leq 1$ ， $x^{2} - 2 \leq 0$ D、 $\exists x > 1$ ， $x^{2} - 2 \leq 0$

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4. 已知 $b < 0 < a$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $b^{2} < a^{2}$ B、 $\frac{1}{b} < \frac{1}{a}$ C、 $- b < - a$ D、 $a - b < a + b$

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5. 如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A C$ 与 $B D$ 的交点为 $M$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{A D} = \vec{b} ， \vec{A A_{1}} = \vec{c} ，$ ，则选项中与向量 $\vec{M C_{1}}$ 相等的是（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$

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6. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{m} = 1 (m > 0)$ ，则“ $m>2$ ”是“双曲线 $C$ 的焦距大于4”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 在下列函数中，最小值为2的是（）

A、 $y = x + \frac{1}{x}$ B、 $y = \lg x + \frac{1}{\lg x} (1 < x < 10)$ C、 $y = \frac{x^{2} - 2 x + 2}{x - 1} (x > 1)$ D、 $y = \sin x + \frac{1}{\sin x} (0 < x < \frac{π}{2})$

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8. 设变量 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y \geq 1 \\ x + y \geq 0 \\ 2 x + y \leq 2 \end{array}$ ，则 $z = 2 x - 3 y$ 的最大值为（）

A、1 B、6 C、10 D、13

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9. 已知命题 $p$ ：若直线 $l$ 的方向向量与平面 $α$ 的法向量垂直，则 $l ∥ α$ ；命题 $q$ ：等轴双曲线的离心率为 $\sqrt{2}$ ，则下列命题是真命题的是（）

A、 $p \land q$ B、 $(\neg p) \land (\neg q)$ C、 $p \lor (\neg q)$ D、 $(\neg p) \land q$

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10. 《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百銭.欲令高爵出少，以次渐多，問各几何？”意思是：“有大夫、不更、簪褭、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增的等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若公士出28钱，则不更出的钱数为（）

A、14 B、16 C、18 D、20

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11. 在某次海军演习中，已知甲驱逐舰在航母的南偏东15°方向且与航母的距离为12海里，乙护卫舰在甲驱逐舰的正西方向，若测得乙护卫舰在航母的南偏西45°方向，则甲驱逐舰与乙护卫舰的距离为（）

A、 $6 \sqrt{6}$ 海里 B、 $6 \sqrt{3}$ 海里 C、 $4 \sqrt{6}$ 海里 D、 $12 \sqrt{2}$ 海里

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12. 已知 $F$ 是双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点， $O$ 是坐标原点，过 $F$ 作 $C$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $P$ ，并交 $y$ 轴于点 $Q$ ．若 $| O Q | = \sqrt{3} | O P |$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{6}$

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二、填空题

13. 已知平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n_{1}} = (1 ， 2 ， x)$ ，平面 $β$ 的法向量为 $\vec{n_{2}} = (- 2 ， y ， 4)$ ，若 $α ∥ β$ ，则 $x - y =$ .

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14. 已知 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $S_{3} = 10$ ， $S_{6} = 20$ ，则 $S_{9} =$ .

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15. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 是首项为 $- 10$ 的递增数列，若 $a_{3} < 0$ ， $a_{11} > 0$ ，则满足条件的数列 ${a_{n}}$ 的一个通项公式为．

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16. 如图所示的是一个正方体的平面展开图， $A B = 1$ ，则在原来的正方体中，直线 $C F$ 与平面 $E M B$ 所成角的正弦值为.

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三、解答题

17.

(1)、解不等式 $x^{2} + x - 12 \geq 0$ ；

(2)、若关于x的不等式 $k x^{2} + 2 x - 1 < 0$ 解集为R ，求实数k的取值范围.

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18. 已知各项为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{3} = 4$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \log_{2} a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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19. $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $b \sin A = \sqrt{3} a \cos B$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 成等差数列，且 $S_{△ A B C} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ，求边长 $b$ 的值.

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20. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线方程是 $x = - \frac{1}{2}$ .

(1)、求抛物线的方程；

(2)、设直线 $y = k (x - 2) (k \neq 0)$ 与抛物线相交于 $M$ ， $N$ 两点， $O$ 为坐标原点，证明： $O M ⊥ O N$ .

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为矩形， $A B = 3$ ， $P A = 4$ ， $E$ 为 $P D$ 的中点， $A E ⊥ P C$ .请用空间向量知识解答下列问题：

(1)、求线段 $A D$ 的长；

(2)、若 $M$ 为线段 $B C$ 上一点，且 $B M = 1$ ，求平面 $D M P$ 与平面 $P D A$ 夹角的余弦值.

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22. 已知椭圆 $E ： x^{2} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的下焦点为 $F_{1}$ 、上焦点为 $F_{2}$ ，其离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ．过焦点 $F_{2}$ 且与x轴不垂直的直线l交椭圆于A、B两点．

(1)、求实数m的值；

(2)、求△ABO(O为原点)面积的最大值．

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