陕西省渭南市大荔县2021-2022学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2022-11-17 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 6 x - 16 < 0}$ ， $B = {y | y - 2 \leq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $[2 ， 8)$ C、 $(- \infty ， 2]$ D、 $(- 2 ， 2]$

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2. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{3} + a_{4} = 19$ ， $S_{8} = 100$ ，则 ${a_{n}}$ 的公差为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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3. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， - 1 ， 3) ， \vec{b} = (k ， - 2 ， 1)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 互相垂直，则k＝（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{5}{2}$ D、 $\frac{5}{2}$

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4. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边为 $a ， b ， c$ ，若 $a = 2$ ， $\cos A = \frac{1}{3}$ ， $\sin B = 3 \sin C$ ，则 $c =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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5. 命题“ $\exists x \in R ， x^{2} > 1$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R ， x^{2} \leq 1$ B、 $\exists x \in R ， x^{2} < 1$ C、 $\forall x \in R ， x^{2} \leq 1$ D、 $\forall x \in R ， x^{2} < 1$

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6. 从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形为圆O ，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，AB＝BC＝CD ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{7}}{7}$

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7. 在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例.在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于5则这个直角三角形周长的最大值为（）

A、10 B、12 C、 $5 \sqrt{2} + 5$ D、 $5 \sqrt{3} + 5$

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8. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别是 $F_{1} ， F_{2}$ ，焦距 $| F_{1} F_{2} | = 2 \sqrt{5}$ ，过点 $T (3 \sqrt{5} ， 0)$ 的直线与椭圆交于P、Q两点，若 $\vec{T P} = 2 \vec{T Q}$ ，且 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，则椭圆C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{7} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{6} + y^{2} = 1$

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9. 已知 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和， $S_{4} = 10$ ， $S_{12} = 70$ ，则 $S_{8} =$ （）．

A、30 B、 $- 20$ C、 $- 30$ D、30或 $- 20$

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10. 已知 $M$ 是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上的一点， $F$ 是抛物线的焦点，若以 $F x$ 为始边， $F M$ 为终边的角 $∠ x F M = 60^{\circ}$ ，则 $| F M |$ 等于（）

A、2 B、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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11. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为棱 $C_{1} D_{1}$ 的中点， $N$ 为棱 $A D$ 的中点，则直线 $M N$ 与平面 $D B B_{1} D_{1}$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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12. 我们通常称离心率是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $B_{1}$ ， $B_{2}$ 分别为左､右､上､下顶点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为左､右焦点， $P$ 为椭圆上一点，下列条件中能使椭圆 $C$ 为“黄金椭圆”的是（）

A、 $| A_{1} F_{1} | \cdot | A_{2} F_{2} | = | F_{1} F_{2} |^{2}$ B、 $∠ F_{1} B_{1} A_{2} = 90 °$ C、 $P F_{1} ⊥ x$ 轴，且 $P O / / A_{2} B_{1}$ D、四边形 $A_{1} B_{2} A_{2} B_{1}$ 的一个内角为 $60 °$

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二、填空题

13. 若“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} = m$ ”是真命题，则实数m的取值范围.

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14. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，上顶点为A，直线 $A F_{1}$ 与椭圆C的另一个交点为B，则 $△ A B F_{2}$ 的面积为.

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15. 某教师组织本班学生开展课外实地测量活动，如图是要测山高 $M N$ .现选择点A和另一座山顶点C作为测量观测点，从A测得点M的仰角 $∠ M A N = 45 °$ ，点C的仰角 $∠ C A B = 30 °$ ，测得 $∠ M A C = 75 °$ ， $∠ M C A = 60 °$ ，已知另一座山高 $B C = 300$ 米，则山高 $M N =$ 米.

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16. 攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面与底面的夹角为．

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三、解答题

17. 等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，且 $a_{1} + 6 a_{2} = 1$ ， $a_{3} = a_{1} \cdot a_{2}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \log_{3} a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 前 $n$ 项和.

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18. 在△ $A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $\sqrt{3} a \cos B = b \sin A$ ．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $A B C$ 的面积 $S = \frac{\sqrt{3}}{4} b^{2}$ ，求 $\frac{a}{c}$ 的值．

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19. 物联网(Internet of things)是一个基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能够被独立寻址的普通物理对象实现互联互通的网络，具有十分广阔的市场前景.现有一家物流公司计划租地建造仓库存储货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费 $y_{1}$ （单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：千米）之间的关系为 $： y_{1} = \frac{m}{x + 1} (m \neq 0) ，$ ，每月库存货物费 $y_{2}$ （单位：万元）与x之间的关系为： $y_{2} = n x (n \neq 0)$ ；若在距离车站11.5千米建仓库，则 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 分别为4万元和23万元.

(1)、求 $m ， n$ 的值；

(2)、这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？最小费用是多少？

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20. 设F为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的右焦点，过点 $(2 ， 0)$ 的直线与椭圆C交于 $A ， B$ 两点.

(1)、若点B为椭圆C的上顶点，求直线 $A F$ 的方程；

(2)、设直线 $A F ， B F$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2} (k_{2} \neq 0)$ ，求证： $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 为定值.

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A D ∥ B C$ ， $A D = 3$ ， $P A = B C = 2 A B = 2$ ， $P B = \sqrt{3}$ ．

(1)、求证： $B C ⊥ P B$ ；

(2)、求二面角 $P - C D - A$ 的余弦值；

(3)、若点 $E$ 在棱 $P A$ 上，且 $B E ∥$ 平面 $P C D$ ，求线段 $B E$ 的长．

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22. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $O$ 为坐标原点，直线 $l$ 过定点 $T (t ， 0)$ （其中 $t > 0$ ， $t \neq 1$ ）与抛物线 $C$ 相交于 $A ， B$ 两点（点 $A$ 位于第一象限 $)$ .

(1)、当 $t = 4$ 时，求证： $O A ⊥ O B$ ；

(2)、如图，连接 $A F ， B F$ 并延长交抛物线 $C$ 于两点 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ，设 $△ A B F$ 和 $△ A_{1} B_{1} F$ 的面积分别为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由.

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