陕西省安康市2021-2022学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2022-11-17 类型：期末考试

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一、单选题

1. 命题“若 $x < 0$ ，则 $2^{x} < sin x$ ”的否命题为（）

A、若 $x < 0$ ，则 $2^{x} \geq \sin x$ B、若 $x \geq 0$ ，则 $2^{x} \geq \sin x$ C、若 $2^{x} < sin x$ ，则 $x < 0$ D、若 $2^{x} \geq \sin x$ ，则 $x \geq 0$

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2. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 3 x - 10 < 0}$ ， $B = {y | y = 2^{x} + 2^{- x}}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[2 ， 5)$ B、 $(- 2 ， 2]$ C、 $[2 ， + \infty)$ D、 $(0 ， 2]$

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3. 已知 $A (2 ， 1 ， 3)$ ， $B (1 ， 3 ， 1)$ ， $C (4 ， y ， z)$ ，若 $\vec{A B} ∥ \vec{A C}$ ，则 $y - 2 z =$ （）

A、-20 B、-17 C、11 D、4

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4. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，上顶点为 $A$ ，离心率为 $e$ ，若 $∠ F_{1} A F_{2} = 45^{\circ}$ ，则 $e^{2} =$ （）

A、 $\frac{2 + \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{2 + \sqrt{2}}{8}$ D、 $\frac{2 - \sqrt{2}}{4}$

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5. 已知 $l$ ， $m$ 是两条不重合的直线， $α$ ， $β$ 是两个不重合的平面，下列结论正确的是（）

A、若 $l ⊥ m$ ， $m \subset α$ ，则 $l ⊥ α$ B、若 $l ∥ α$ ， $α ∥ β$ ，则 $l ∥ β$ C、若 $l ⊥ m$ ， $l ⊥ α$ ，则 $m ∥ α$ D、若 $l ⊥ α$ ， $α ∥ β$ ，则 $l ⊥ β$

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6. 某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）．已知接收天线的口径（直径）为3.6m，深度为0.6m，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（）

A、1.35m B、2.05m C、2.7m D、5.4m

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7. 已知命题“存在 $x \in (3 ， 27)$ ，使得 $\log_{3} x + \frac{x}{3} - m > 0$ ”是假命题，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[2 ， + \infty)$ B、 $(2 ， + \infty)$ C、 $[12 ， + \infty)$ D、 $(12 ， + \infty)$

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8. 已知 $f (x)$ ， $g (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，函数 $h (x) = f (x) g (x)$ ，则“ $h (x)$ 是偶函数”是“ $f (x)$ ， $g (x)$ 均是奇函数或 $f (x)$ ， $g (x)$ 均是偶函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 在如图所示的圆锥中， $S$ 是圆锥的顶点，正三角形 $A B C$ 的顶点在底面圆周上， $D$ 是母线 $S A$ 的中点，若该圆锥的侧面积是底面积的2倍，则异面直线 $A C$ 与 $B D$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{30}}{20}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{30}}{15}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{15}$

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10. 已知 $M ， N$ 分别是 $y$ 轴和圆 $C ： x^{2} + y^{2} + 6 x + 5 = 0$ 上的动点，点 $P (- 1 ， 3)$ ，则 $| P M | + | M N |$ 的最小值为（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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11. 已知 $ω > 0$ ，函数 $f (x) = \sqrt{3} sin ω x cos ω x - {sin}^{2} ω x + \frac{1}{2}$ 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{4}$ .若 $f (x)$ 在 $(0 ， α)$ 上恰有3个零点，则 $α$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{11 π}{24} ， \frac{17 π}{24})$ B、 $(\frac{11 π}{24} ， \frac{17 π}{24}]$ C、 $[\frac{17 π}{24} ， \frac{23 π}{24})$ D、 $(\frac{17 π}{24} ， \frac{23 π}{24}]$

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12. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.如：与 $\sqrt{{(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2}}$ 相关的代数问题可以转化为点 $A (x ， y)$ 与点 $B (a ， b)$ 之间距离的几何问题.结合上述观点，若实数 $x ， y$ 满足 $\sqrt{x^{2} + y^{2} + 4 x + 4} + \sqrt{x^{2} + y^{2} - 4 x + 4} = 4 \sqrt{2}$ ，则 $\frac{y - 2}{x - 3}$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， 6]$ B、 $[3 ， 6]$ C、 $[0 ， 12]$ D、 $[3 ， 12]$

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二、填空题

13. 已知直线 $l_{1} ： a x + (a + 3) y - 1 = 0$ 与 $l_{2} ： (a + 3) x - y + 2 = 0$ 垂直，则 $a =$ .

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14. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的右焦点 $F$ 在圆 $x^{2} + y^{2} - 3 x - 4 y + 2 = 0$ 上，则该双曲线的渐近线方程为.

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15. 在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 120 °$ ， $E$ 是 $C D$ 的中点， $F$ 是 $A D$ 上一点，且 $A E ⊥ B F$ ，则 $\frac{| \vec{A D} |}{| \vec{A F} |} =$ .

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16. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为.

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三、解答题

17. 已知圆 $C$ 经过 $A (2 ， 0) ， B (0 ， 4)$ 两点，且圆心 $C$ 在直线 $x + y - 6 = 0$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l ： x + 3 y - 6 = 0$ 与圆 $C$ 交于 $M ， N$ 两点，求 $| M N |$ .

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18. 为了解某公司新研发的产品在某地区的销售情况，该公司市场营销部在该地区居民中随机选取了 $500$ 人，就他们对该产品的使用情况进行满意度问卷调查，并将他们的满意度评分（满分 $100$ 分）按照 $[40 ， 50) ， [50 ， 60) ， [60 ， 70) ， [70 ， 80) ， [80 ， 90) ， [90 ， 100]$ 分成 $6$ 组，制成如图所示的频率分布直方图．

(1)、求图中 $a$ 的值，并求被调查中满意度评分在 $[80 ， 100]$ 的人数；

(2)、若调查的满意度评分的平均数不低于 $80$ ，则认为该地区居民认可该产品，试判断该地区居民是否认可该产品．（同一组数据用该组数据的中点值作代表）

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19. 已知 $p$ ：函数 $f (x) = ln [(a - 1) x^{2} + (a - 1) x + 2]$ 的定义域为 $R$ ， $q$ ：对任意 $x \in (3 ， 5)$ ，都有函数 $g (x) = x - \frac{a}{x} - 1 > 0$ .

(1)、若“ $p$ 且 $q$ ”是真命题，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若“ $p$ 或 $q$ ”是真命题，“ $p$ 且 $q$ ”是假命题，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D ， P A = A B = 2 ， ∠ B A D = 12 0^{∘} ， A C ⊥ B D$ ， $△ B C D$ 是等边三角形.

(1)、证明：平面 $P A D ⊥$ 平面 $P C D$ .

(2)、求二面角 $B - P C - D$ 的正弦值.

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21. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2 ， a_{n + 1} = 2 a_{n} + 2 ， b_{n} = a_{n} + 2$ .

(1)、证明：数列 ${b_{n}}$ 是等比数列.

(2)、若 $c_{n} = \frac{b_{n}}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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22. 已知抛物线 $C_{1} ： x^{2} = y$ ， $C_{2} ： x^{2} = - y$ ，点 $M (x_{0} ， y_{0})$ 在 $C_{2}$ 上，且不与坐标原点 $O$ 重合，过点 $M$ 作 $C_{1}$ 的两条切线，切点分别为 $A$ ， $B$ .记直线 $M A$ ， $M B$ ， $M O$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ .

(1)、当 $x_{0} = 1$ 时，求 $k_{1} + k_{2}$ 的值；

(2)、当点 $M$ 在 $C_{2}$ 上运动时，求 $\frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}} - \frac{k_{1} k_{2}}{k_{3}}$ 的取值范围.

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