山东省枣庄市薛城区2021-2022学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2022-11-17 类型：期末考试

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一、单选题

1. 抛物线 $y = \frac{1}{3} x^{2}$ 的焦点坐标是（）

A、 $(\frac{3}{4} ， 0)$ B、 $(\frac{1}{6} ， 0)$ C、 $(\frac{1}{12} ， 0)$ D、 $(0 ， \frac{3}{4})$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (2, 1, 3)$ ， $\vec{b} = (x, 2, 1 - x)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、-5 B、5 C、4 D、-1

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3. 已知圆 $O_{1}$ 的方程为 ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = 4$ ，圆 $O_{2}$ 的方程为 $x^{2} + {(y - b + 1)}^{2} = 1$ ，其中 $a ， b \in R$ ．那么这两个圆的位置关系不可能为（）

A、外离 B、外切 C、内含 D、内切

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4. 如图，把椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的长轴 $A B$ 分成6等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点 $P_{1} ， P_{2} ， P_{3} ， P_{4} ， P_{5}$ ， F是椭圆C的右焦点，则 $| P_{1} F | + | P_{2} F | + | P_{3} F | + | P_{4} F | + | P_{5} F | =$ （）

A、20 B、 $15 \sqrt{3}$ C、36 D、30

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5. 在各项都为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 中，首项 $a_{1} = 3$ ，前3项和为21，则 $a_{3} + a_{4} + a_{5} =$ （）

A、84 B、72 C、33 D、189

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6. 数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点分别为 $A (1 ， 3)$ ， $B (2 ， 4)$ ， $C (3 ， 2)$ ，则△ABC的欧拉线方程为（）

A、 $x + y - 5 = 0$ B、 $x + y + 5 = 0$ C、 $x - y + 1 = 0$ D、 $2 x + y - 7 = 0$

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7. 已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = \frac{1}{2} A A_{1} = 1$ ， $∠ A_{1} A C = ∠ A_{1} A B = \frac{π}{3}$ ，D点是线段 $A B$ 上靠近A的一个三等分点，则 $\vec{C D} \cdot \vec{B_{1} B} =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $- \frac{4}{3}$

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8. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 6 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为l，A是l上一点，B是直线 $A F$ 与抛物线C的一个交点，若 $\vec{F A} = 3 \vec{F B}$ ，则 $| B F | =$ （）

A、 $\frac{7}{2}$ B、3 C、 $\frac{5}{2}$ D、2

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二、多选题

9. 已知曲线C的方程为 $\frac{x^{2}}{m + 1} + \frac{y^{2}}{2 m + 3} = 1 (m \in R)$ ，则（）

A、曲线C可以表示圆 B、曲线C可以表示焦点在x轴上的椭圆 C、曲线C可以表示焦点在y轴上的椭圆 D、曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S$ ， $a_{1} = 1$ ， $S_{n + 1} = S_{n} + 2 a_{n} + 1$ ，数列 ${\frac{2^{n}}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，则下列选项正确的为（）

A、数列 ${a_{n} + 1}$ 是等比数列 B、数列 ${a_{n} + 1}$ 是等差数列 C、数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = 2^{n} - 1$ D、 $T_{n} > 1$

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11. 已知直线 $l : a x - y - 3 a = 0$ 上存在相距为4的两个动点A，B，若圆 $C : {(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4$ 上存在点P使得 $△ P A B$ 是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，则实数a的值可以为（）

A、-2 B、-1 C、0 D、1

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12. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P满足 $\vec{D P} = λ \vec{D D_{1}} + μ \vec{D A}$ ， $λ \in [0 ， 1]$ ， $μ \in [0 ， 1]$ ，则以下说法正确的是（）

A、当 $λ = μ$ 时，直线 $B P //$ 平面 $C B_{1} D_{1}$ B、当 $λ + μ = 1$ 时，线段CP长度的最小值为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、当 $λ + μ = 1$ 时，直线CP与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成的角不可能为 $\frac{π}{3}$ D、当 $μ = \frac{1}{2}$ 时，存在唯一点P使得直线DP与直线 $C B_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$

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三、填空题

13. 已知空间向量 $\vec{a} = (1 ， 0 ， 1)$ ， $\vec{b} = (2 ， - 1 ， 2)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标是．

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14. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + n a_{n} = n (n + 1) (n + 2)$ ，则 $a_{n} =$ .

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15. 如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是 .

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16. 椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过焦点 $F_{1}$ 的直线交该椭圆于 $A ， B$ 两点，若 $△ A B F_{2}$ 的内切圆面积为 $π$ ， $A ， B$ 两点的坐标分别为 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ，则 $△ A B F_{2}$ 的面积 $S =$ ， $| y_{1} - y_{2} |$ 的值为.

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四、解答题

17.

(1)、已知等轴双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的上顶点到一条渐近线的距离为 $1$ ，求此双曲线的方程；

(2)、已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，设过焦点 $F$ 且倾斜角为 $45 °$ 的直线l交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点，求线段 $A B$ 的长．

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18. 已知首项为1的等比数列 ${a_{n}}$ ，满足 $3 (a_{2} + a_{4}) = a_{3} + a_{5}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${(2 n - 1) \cdot a_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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19. 已知直线 $l ： m x - y - 2 m + 2 = 0 (m \in R)$ ，圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 6 y + 8 = 0$ .

(1)、若l与圆C相切，求切点坐标；

(2)、若l与圆C交于A，B，且 $| O A | = | O B |$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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20. 在① $3 a_{2} + b_{2} + b_{4} = 0$ ， ② $a_{4} = b_{4}$ ， ③ $S_{3} = - 27$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的 $λ$ 存在，求实数 $λ$ 的取值范围；若问题中的 $λ$ 不存在，请说明理由．
设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ， ________， $a_{5} = b_{1}$ ， $4 T_{n} = 3 b_{n} - 1 (n \in N^{*})$ ，是否存在实数 $λ$ ，对任意 $n \in N^{*}$ 都有 $λ \leq S_{n}$ ？

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21. 三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 为菱形， $∠ C B B_{1} = 60 °$ ， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C$ ， $B C = A B_{1} = 2$ ．

(1)、求证：面 $A B C ⊥$ 面 $B B_{1} C_{1} C$ ；

(2)、在线段 $C_{1} A_{1}$ 上是否存在一点M，使得二面角 $M - C B_{1} - C_{1}$ 为 $\frac{π}{6}$ ，若存在，求出 $\frac{C_{1} M}{C_{1} A_{1}}$ 的值，若不存在，请说明理由．

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22. 已知 $O$ 为坐标原点，椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ， $| F_{1} F_{2} | = 2$ ， $P$ 为椭圆的上顶点，以 $P$ 为圆心且过 $F_{1} ， F_{2}$ 的圆与直线 $x = - \sqrt{2}$ 相切.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、已知直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $M ， N$ 两点.
（ⅰ）若直线 $l$ 的斜率等于 $1$ ，求 $△ O M N$ 面积的最大值；

（ⅱ）若 $\vec{O M} \cdot \vec{O N} = - 1$ ，点 $D$ 在 $l$ 上， $O D ⊥ l$ .证明：存在定点 $W$ ，使得 $| D W |$ 为定值.

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