青海省西宁市大通回族土族自治县2021-2022学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2022-11-17 类型：期末考试

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一、单选题

1. 当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（）

A、三点确定一平面 B、不共线三点确定一平面 C、两条相交直线确定一平面 D、两条平行直线确定一平面

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2. 抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 的焦点坐标为（）

A、 $(\frac{1}{16} ， 0)$ B、 $(- \frac{1}{16} ， 0)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(0 ， - 1)$

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3. 已知l ， m是两条不同的直线， $α ， β$ 是两个不同的平面，且 $l \subset α ， m \subset β$ ，则（）

A、若 $α ⊥ β$ ，则 $l / / m$ B、若 $l ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $α ⊥ β$ ，则 $l ⊥ m$ D、若 $l / / m$ ，则 $α / / β$

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4. 命题“若 $x > 1$ ，则 $x > 0$ ”的否命题是（）

A、若 $x > 1$ ，则 $x \leq 0$ B、若 $x \leq 1$ ，则 $x \leq 0$ C、若 $x < 1$ ，则 $x < 0$ D、若 $x \geq 1$ ，则 $x < 0$

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5. “ $m = \frac{1}{2}$ ”是“直线 $(m + 2) x + 3 m y + 1 = 0$ 与直线 $(m - 2) x + (m + 2) y - 3 = 0$ 垂直”的（）

A、充分必要条件 B、充分非必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 曲线 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9}$ =1与曲线 $\frac{x^{2}}{25 - k} + \frac{y^{2}}{9 - k}$ =1（k＜9）的（）

A、长轴长相等 B、短轴长相等 C、离心率相等 D、焦距相等

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7. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， AC与BD的交点为M.设 $\vec{A_{1} B_{1}} = \vec{a} ， \vec{A_{1} D_{1}} = \vec{b} ， \vec{A_{1} A} = \vec{c} ，$ ，则下列向量中与 $\vec{B_{1} M}$ 相等的向量是（　　）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

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8. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，下列几种说法不正确的是 $($ 　　 $)$

A、 $A_{1} C_{1} ⊥ B D$ B、B₁C与BD所成的角为60° C、二面角 $A_{1} - B C - D$ 的平面角为 $45^{\circ}$ D、 $A C_{1}$ 与平面ABCD所成的角为 $45^{\circ}$

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9. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $e_{1}$ ，双曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的离心率为 $e_{2}$ ，则（）

A、 $e_{2} = 2 e_{1}$ B、 $e_{1} + e_{1} = 2$ C、 $e_{2}^{2} = e_{1}^{2} + 1$ D、 $e_{1}^{2} + e_{2}^{2} = 2$

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10. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， 2 ， 3)$ ， $\vec{b} = (2 ， - 1 ， - 4)$ ，则下列向量中，使 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 能构成空间的一个基底的向量是（）

A、 $\vec{c} = (- 2 ， 1 ， 4)$ B、 $\vec{c} = (1 ， 1 ， - 1)$ C、 $\vec{c} = (- 8 ， 7 ， 18)$ D、 $\vec{c} = (- 1 ， 2 ， - 4)$

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11. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、54 B、45 C、27 D、81

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12. 已知 $P$ 是抛物线上的一个动点， $Q$ 是圆 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 上的一个动点，是一个定点，则 $| P Q | + | P N |$ 的最小值为（）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $\sqrt{2} + 1$

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二、填空题

13. 如果椭圆 $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ 上一点P到焦点 $F_{1}$ 的距离等于6，则点P到另一个焦点 $F_{2}$ 的距离为

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14. 已知直线l₁：（ $\sqrt{3} +$ 1）x+y﹣2=0与l₂：（ $\sqrt{3} -$ 1）x+ay﹣4=0平行，则a=.

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15. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ - $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1(a>0，b>0)与抛物线y²=8x有一个共同的焦点F，两曲线的一个交点为P，若|FP|=5，则点F到双曲线的渐近线的距离为.

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16. 如图，某河流上有一座抛物线形的拱桥，已知桥的跨度 $A B = 10$ 米，高度 $h = 5$ 米（即桥拱顶到基座 $A B$ 所在的直线的距离）．由于河流上游降雨，导致河水从桥的基座 $A$ 处开始上涨了1米，则此时桥洞中水面的宽度为米．

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三、解答题

17. 已知点 $A (1 ， 1)$ ， $B (- 1 ， 3)$ .

(1)、求以 $A B$ 为直径的圆 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $x - m y + 1 = 0$ 被圆 $C$ 截得的弦长为 $\sqrt{6}$ ，求 $m$ 值．

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18. 已知圆台的上下底面半径分别为 $2 ， 5$ ，母线长为 $5$ ．求：

(1)、圆台的高；

(2)、圆台的体积．
注：圆台的体积公式： $V = \frac{1}{3} (S^{'} + \sqrt{S^{'} S} + S) h$ ，其中 $S^{'}$ ， S分别为上下底面面积，h为圆台的高．

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19. 已知三角形的三个顶点 $A (- 5 ， 0) ， B (3 ， - 3) ， C (0 ， 2)$ ，求 $B C$ 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．

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20. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 2 C D = 2 B C$ ， O为BD的中点， $B D = 4$ ， $P B = P C = P D = \sqrt{5}$ ．

(1)、证明： $O P ⊥$ 平面ABCD；

(2)、求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．

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21. 已知抛物线y²＝2px(p＞0)的焦点为F ，过F且与x轴垂直的直线交该抛物线于A ， B两点，|AB|＝4．

(1)、求抛物线的方程；

(2)、过点F的直线l交抛物线于P ， Q两点，若△OPQ的面积为4，求直线l的斜率（其中O为坐标原点）．

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22. 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个顶点为 $A (0 ， 3)$ ，离心率 $e = \frac{4}{5}$ ．

(1)、求椭圆方程；

(2)、若直线 $l ： y = k x - 3$ 与椭圆交于不同的两点 $M ， N$ ．若满足 $| A M | = | A N |$ ，求直线 $l$ 的方程．

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