青海省海东市2021-2022学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2022-11-17 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是空间中的任意两个非零向量，则下列各式中一定成立的是（）

A、 ${(\vec{a} \cdot \vec{b})}^{2} = {\vec{a}}^{2} \cdot {\vec{b}}^{2}$ B、 ${(\vec{a} + \vec{b})}^{2} = {\vec{a}}^{2} + {\vec{b}}^{2}$ C、 ${(λ \vec{a})}^{2} = λ^{2} {\vec{a}}^{2}$ D、 $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{b} |} = \vec{a}$

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2. 下列说法中正确的是（）

A、存在只有4个面的棱柱 B、棱柱的侧面都是四边形 C、正三棱锥的所有棱长都相等 D、所有几何体的表面都能展开成平面图形

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3. 已知直线l经过 $A (- 2 ， 3 \sqrt{3})$ ， $B (- 3 ， 4 \sqrt{3})$ 两点，则直线l的倾斜角是（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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4. 如图， $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 是水平放置的 $△ A B C$ 的直观图，其中 $B^{'} C^{'} = C^{'} A^{'} = 2$ ， $A^{'} B^{'}$ ， $A^{'} C^{'}$ 分别与 $x^{'}$ 轴， $y^{'}$ 轴平行，则 $B C =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、 $2 \sqrt{6}$

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5. “ $a < b < 0$ ”是“ $4^{a - b} < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知 $m ， n$ 是两条不同的直线， $α ， β$ 是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）

A、若 $m / / n ， n / / α$ ，则 $m / / α$ B、若 $m / / α ， m / / β$ ，则 $α / / β$ C、若 $m / / α ， m ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $α ⊥ β ， m / / α ， n / / β$ ，则 $m ⊥ n$

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7. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $A A_{1} = 2 A B = 2 A D$ ，则异面直线 $A_{1} C$ 与 $B C_{1}$ 所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{30}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{30}}{30}$ C、 $\frac{\sqrt{30}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{30}}{6}$

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8. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 12 x$ ， $A (0 ， - 4)$ ，点 $P$ 在抛物线 $C$ 上，记点 $P$ 到直线 $x = - 6$ 的距离为 $d$ ，则 $| P A | + d$ 的最小值是（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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9. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 6 ， \vec{A B} = 3 \vec{A E} ， P ， F$ 分别是线段 $A_{1} C ， B B_{1}$ 的中点，则点 $P$ 到直线 $E F$ 的距离是（）

A、 $\frac{3 \sqrt{34}}{5}$ B、 $\frac{12}{5}$ C、 $\frac{6 \sqrt{34}}{5}$ D、 $\frac{18}{5}$

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10. 数学家歌拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知 $△ A B C$ 的三个顶点分别为 $A (1 ， 1)$ ， $B (7 ， 1)$ ， $C (5 ， 5)$ ，则 $△ A B C$ 的欧拉线方程是（）

A、 $x + y - 6 = 0$ B、 $x - y - 2 = 0$ C、 $2 x - y - 6 = 0$ D、 $x + 2 y - 11 = 0$

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11. 已知 $A$ ， $B$ 分别是圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 4 = 0$ 和圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y + 12 = 0$ 上的动点，点 $P$ 在直线 $l ： x + y + 3 = 0$ 上，则 $| P A | + | P B |$ 的最小值是（）

A、 $2 \sqrt{17} + 4$ B、 $2 \sqrt{17} - 4$ C、 $2 \sqrt{17} + 2$ D、 $2 \sqrt{17} - 2$

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12. 如图， $D E$ 是边长为4的等边三角形 $A B C$ 的中位线，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起，使得点A与P重合，平面 $P D E ⊥$ 平面 $B C D E$ ，则四棱锥 $P - B C D E$ 外接球的表面积是（）

A、 $\frac{52 π}{3}$ B、16π C、19π D、28π

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二、填空题

13. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线与直线l： $2 x + y - 3 = 0$ 平行，则双曲线C的离心率是．

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14. 某学生到某工厂进行劳动实践，利用 $3 D$ 打印技术制作模型.如图，该模型为一个大圆柱中挖去一个小圆柱后的剩余部分（两个圆柱底面圆的圆心重合），大圆柱的轴截面是边长为 $20 c m$ 的正方形，小圆柱的侧面积是大圆柱侧面积的一半，打印所用原料的密度为 $1 g / c m^{3}$ ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为g.（取 $π = 3$ ）

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15. 命题“ $\exists x_{0} \in [2 ， 4]$ ， $x_{0}^{2} - m x_{0} + m + 3 > 0$ ”是真命题，则 $m$ 的取值范围是．

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16. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难人微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：与 $\sqrt{{(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2}}$ 相关的代数问题可以转化为点 $A (x ， y)$ 与点 $B (a ， b)$ 之间距离的几何问题.结合上述观点，可得方程 $\sqrt{x^{2} + 4 x + 8} + \sqrt{x^{2} - 4 x + 8} = 4 \sqrt{3}$ 的解是.

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三、解答题

17. 已知直线 $l ： (2 a - 1) x + (a + 2) y - 5 = 0$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求直线 $l$ 与直线 $l_{1} ： x + 2 y - 3 = 0$ 的交点坐标；

(2)、若直线 $l$ 与直线 $l_{2} ： 2 x - y + 3 = 0$ 垂直，求a的值.

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18. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，直线 $x = 2 \sqrt{3}$ 与抛物线 $C$ 的准线交于点 $A$ ， $O$ 为坐标原点， $| O A | = 2 | O F |$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l ： y = \sqrt{3} x + 2$ 与抛物线 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，求 $△ A M N$ 的面积．

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19. 如图，在多面体ABCEF中， $△ A B C$ 和 $△ A C E$ 均为等边三角形，D是AC的中点， $E F / / B D$ ．

(1)、证明： $A C ⊥ B F$ ．

(2)、若平面 $A B C ⊥$ 平面ACE，求二面角 $A - B C - E$ 的余弦值.

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20. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $B C ∥ A D$ ， $A D ⊥ A B$ ， $E$ ， $F$ 分别是棱 $A B$ ， $P C$ 的中点．

(1)、证明： $E F //$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若 $C D = \sqrt{2} A B = \sqrt{2} B C = 2 \sqrt{2}$ ，且四棱锥 $P - A B C D$ 的体积是6，求三棱锥 $F - P A D$ 的体积．

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21. 已知圆C的圆心在直线 $x - 2 y + 3 = 0$ 上，且圆C经过 $P (2 ， 0)$ ， $Q (3 ， 3)$ 两点.

(1)、求圆C的标准方程.

(2)、设直线 $l ： y = k x + m + 2$ 与圆C交于A，B（异于坐标原点O）两点，若以AB为直径的圆过原点，试问直线l是否过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由.

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22. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左，右顶点分别是 $A$ ， $B$ ，且 $M$ ， $N$ 是椭圆 $E$ 上异于 $A$ ， $B$ 的不同的两点．

(1)、若 $k_{A M} \cdot k_{A N} = - \frac{1}{4}$ ，证明：直线 $M N$ 必过坐标原点 $O$ ；

(2)、设点 $P$ 是以 $A M$ 为直径的圆 $O_{1}$ 和以 $A N$ 为直径的圆 $O_{2}$ 的另一个交点，记线段 $A P$ 的中点为 $Q$ ，若 $k_{A M} \cdot k_{A N} = - 1$ ，求动点 $Q$ 的轨迹方程．

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