江苏省南通市海安市2021-2022学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-11-17 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = A \cup B = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ， $A \cap (∁_{U} B) = {1 ， 2 ， 4}$ ， $B =$ （）

A、 ${0}$ B、 ${3 ， 5}$ C、 ${0 ， 3 ， 5}$ D、 ${1 ， 2 ， 4}$

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2. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z$ 满足 $i z - 5$ 为纯虚数，则 $z$ 的虚部为（）

A、5 B、 $5 i$ C、 $- 5 i$ D、 $- 5$

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3. 已知中心在坐标原点，焦点在 $x$ 轴上的双曲线 $C$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，则其渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{2} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ C、 $y = \pm 2 x$ D、 $y = \pm \frac{1}{2} x$

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4. 如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于其焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等，具有结构简单､方向性强､工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面， $A$ ， $B$ 两点关于抛物线的对称轴对称， $F$ 是抛物线的焦点， $∠ A F B$ 是馈源的方向角，记为 $θ$ .焦点 $F$ 到顶点的距离 $f$ 与口径 $d$ 的比为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等.若馈源方向角 $θ$ 满足 $\tan \frac{θ}{2} = \frac{4}{3}$ ，则该抛物面天线的焦径比为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、2

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5. 设 $m \in R$ ，直线 $l_{1} ： (m + 2) x + 6 y - 2 m - 8 = 0$ ， $l_{2} ： x + 2 m y + m + 1 = 0$ ，则“ $m = 1$ ”是“ $l_{1} // l_{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 如图，是函数 $y = f (x)$ 的部分图象，且关于直线 $x = 2$ 对称，则（）

A、 $f^{'} (1) < f^{'} (2) < f^{'} (3)$ B、 $f^{'} (1) = f^{'} (3) < f^{'} (2)$ C、 $f^{'} (1) > f^{'} (2) > f^{'} (3)$ D、 $f^{'} (1) = f^{'} (3) > f^{'} (2)$

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7. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 且垂直于 $x$ 轴的直线与 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点， $F_{1} Q$ 与 $y$ 轴交于点 $R$ ， $F_{1} Q ⊥ P R$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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8. 在数列 ${4 n - 3}$ 中抽取部分项（按原来的顺序）构成一个新数列，记为 ${a_{n}}$ ，再在数列 ${a_{n}}$ 插入适当的项，使它们一起能构成一个首项为1，公比为3的等比数列 ${b_{n}}$ .若 $b_{k} = 729$ ，则数列 ${b_{n}}$ 中第 $k$ 项前（不含 $b_{k}$ ）插入的项的和最小为（）

A、30 B、91 C、273 D、820

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二、多选题

9. 方程 $x^{2} + (\cos θ) y^{2} = 1$ ， $θ \in (0 ， π)$ 表示的曲线可能为（）

A、两条直线 B、圆 C、椭圆 D、双曲线

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10. 存在 $a$ ， $b \in R (a \neq b)$ ，使得 $f (a) = f (b)$ 的是（）

A、 $f (x) = x^{2} + 2 \ln x$ B、 $f (x) = x + \ln (1 - x)$ C、 $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{e^{x}}$ D、 $f (x) = x \cdot 2^{x}$

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11. 已知 $b \in R$ ，圆 $C_{1} ： {(x - 2)}^{2} + {(y - b)}^{2} = 16$ ， $C_{2} ： x^{2} + y^{2} = 4$ ，则（）

A、当 $b = 1$ 时，两圆相交 B、两圆可能外离 C、两圆可能内含 D、圆 $C_{2}$ 可能平分圆 $C_{1}$ 的周长

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12. 过 $x$ 轴上一点作函数 $y = x^{3} - x$ 的图象的切线，则切线的条数可能为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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三、填空题

13. 经过点 $A (a ， b + c)$ ， $B (b ， a + c) (a \neq b)$ 的直线的倾斜角为.

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14. 写出一个同时具有性质① ②的函数 $f (x) =$ .（ $f (x)$ 不是常值函数），① $f^{'} (x)$ 为偶函数；② $f^{'} (x + π) = f^{'} (x)$ .

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15. 过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点的直线交抛物线于点 $A$ 、 $B$ ，且点 $A$ 的横坐标为 $4$ ，过点 $A$ 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点 $C$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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16. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《算法九章·商功》中，后人称之为“三角垛”.已知某“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层（从上往下）球数构成一个数列 ${a_{n}}$ ，则 $a_{5} =$ ， $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{n}} =$ .

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四、解答题

17. 在① $b \sin A = a \sin 2 B$ ， ② $S_{△ A B C} = \frac{\sqrt{3}}{4} (a^{2} + c^{2} - b^{2})$ ， ③ $\tan B = \frac{2 - \cos B}{\sin B}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答.
在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且___________.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、已知 $A B = 6$ ， $B C = 4$ ，点 $P$ 在边 $A C$ 上，且 $B P = 3 P C$ ，求线段 $B P$ 的长.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公差不为0的等差数列，数列 ${b_{n}}$ 是公比为2的等比数列， $a_{2}$ 是 $a_{1}$ ， $a_{5}$ 的等比中项， $b_{3} - a_{3} = 3$ ， $b_{1} = 2 a_{1}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n} b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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19. 已知圆 $M ： {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ ，点 $P (- 1 ， t) (t \in R)$ .

(1)、若 $t = 1$ ，半径为 $1$ 的圆 $N$ 过点 $P$ ，且与圆 $M$ 相外切，求圆 $N$ 的方程；

(2)、若过点 $P$ 的两条直线被圆 $M$ 截得的弦长均为 $2 \sqrt{3}$ ，且与 $y$ 轴分别交于点 $S$ 、 $T$ ， $| S T | = \frac{3}{4}$ ，求 $t$ .

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20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $B (4 ， 2)$ ， $B C ⊥ y$ 轴于点 $C$ ， $M$ 是线段 $O B$ 上的动点， $M D ⊥ y$ 轴于点 $D$ ， $M E ⊥ B C$ 于点 $E$ ， $O E$ 与 $M D$ 相交于点 $P$ .

(1)、判断点 $P (m ， n)$ 是否在抛物线 $y^{2} = x$ 上，并说明理由；

(2)、过点 $Q_{0} (1 ， 1)$ 作抛物线 $y^{2} = x$ 的切线 $l_{1}$ 交 $y$ 轴于点 $R_{1} (0 ， y_{1})$ ，过抛物线 $y^{2} = x$ 上的点 $Q_{1} (x_{1} ， y_{1})$ 作抛物线 $y^{2} = x$ 的切线 $l_{2}$ 交 $y$ 轴于点 $R_{2} (0 ， y_{2})$ ， ……，以此类推，得到数列 ${y_{n}}$ ，求 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 及数列 ${y_{n}}$ 的通项公式.

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $F_{1} (- 5 ， 0)$ ， $F_{2} (5 ， 0)$ ，点 $M$ 满足 $| M F_{1} | - | M F_{2} | = 6$ ，记点 $M$ 的轨迹为 $C$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、已知 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 是经过圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 9$ 上一点 $P$ 且与 $C$ 相切的两条直线，斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，直线 $O P$ 的斜率为 $k_{0}$ ，求证： $k_{0} (k_{1} + k_{2})$ 为定值.

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22. 已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、是否存在实数 $a$ ， $b$ ， $c$ ，对任意的正数 $x$ ，都有 $f (x) \geq a x + b \geq c \ln x$ 成立？若存在，求出 $a$ ， $b$ ， $c$ 的所有值；若不存在，请说明理由.

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