吉林省白山市2021-2022学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-11-17 类型：期末考试

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一、单选题

1. 与直线 $x + y - 1 = 0$ 平行，且经过点（2，3）的直线的方程为（）

A、 $x - y + 1 = 0$ B、 $x + y + 5 = 0$ C、 $x + y - 5 = 0$ D、 $x - y - 1 = 0$

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2. 抛物线 $y = 2 x^{2}$ 的焦点坐标为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{2} ， 0)$ C、 $(0 ， \frac{1}{8})$ D、 $(\frac{1}{8} ， 0)$

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3. 数列 $\frac{2}{3}$ ， $\frac{2}{3}$ ， $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ， …的一个通项公式为（）

A、 $a_{n} = \frac{n + 3}{3 \times 2^{n}}$ B、 $a_{n} = \frac{n}{3 \times 2^{n - 2}}$ C、 $a_{n} = \frac{3 n + 1}{3 \times 2^{n}}$ D、 $a_{n} = \frac{n + 1}{3 \times 2^{n - 1}}$

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4. 已知圆M的圆心在直线 $x + y - 4 = 0$ 上，且点 $A (1 ， 0)$ ， $B (0 ， 1)$ 在M上，则M的方程为（）

A、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 13$ B、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ C、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5$ D、 ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 5$

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5. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比q为整数，且 $a_{1} + a_{4} = 9$ ， $a_{2} \cdot a_{3} = 8$ ，则 $\frac{a_{2} + a_{4} + a_{10}}{a_{1} + a_{3} + a_{9}} =$ （）

A、2 B、3 C、-2 D、-3

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6. 已知 $A (3 ， 1 ， 0)$ ， $B (5 ， 2 ， 2)$ ， $C (2 ， 0 ， 3)$ ，则点C到直线AB的距离为（）

A、3 B、 $\sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{10}$

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7. 我国古代数学论著中有如下叙述：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯二百五十四．”思如下：一座7层塔共挂了254盏灯，且相邻两层的下一层所挂灯数是上一层所挂灯数的2倍．下列结论不正确的是（）

A、底层塔共挂了128盏灯 B、顶层塔共挂了2盏灯 C、最下面3层塔所挂灯的总盏数比最上面3层塔所挂灯的总盏数多200 D、最下面3层塔所挂灯的总盏数是最上面3层塔所挂灯的总盏数的16倍

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8. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点为F，过F且与x轴垂直的直线与C交于A，B两点，若 $△ A B O$ 是正三角形，则C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{39}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{7}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{39}}{3}$ D、 $\sqrt{3} + \sqrt{7}$

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9. 已知数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 3$ ， $b_{n} - b_{n - 1} = 8 n - 4 (n ⩾ 2)$ ，数列 ${\frac{2}{b_{n}}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，若 $T_{2}$ ， $T_{4}$ ， $T_{n}$ 成等差数列，则n=（）

A、6 B、8 C、16 D、22

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10. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，M是 $A_{1} C_{1}$ 的中点， $A B = 2 A A_{1} = 2 A C$ ， $\vec{B N} = \frac{1}{3} \vec{B B_{1}}$ ， $\vec{M G} = 3 \vec{G N}$ ，若 $\vec{A G} = x \vec{A A_{1}} + y \vec{A B} + z \vec{A C}$ ，则 $x + y + z =$ （）

A、 $\frac{7}{8}$ B、 $\frac{9}{8}$ C、 $\frac{11}{8}$ D、 $\frac{13}{8}$

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11. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} < 0$ ， $a_{2021} (a_{2021} + a_{2022}) < 0$ ，则使数列 ${a_{x}}$ 的前n项和 $S_{n} < 0$ 成立的最大正整数n=（）

A、2021 B、2022 C、4041 D、4042

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12. 如图，P是椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 第一象限上一点，A，B，C是椭圆与坐标轴的交点，O为坐标原点，过A作AN平行于直线BP交y轴于N，直线CP交x轴于M，直线BP交x轴于E.现有下列三个式子：① $| O E | \cdot | O N |$ ；② $| O E | \cdot | O M |$ ；③ $\frac{| O N |}{| O M |}$ .其中为定值的所有编号是（）

A、①③ B、②③ C、①② D、①②③

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二、填空题

13. 已知 $\vec{A B} = (2 ， 0 ， 3)$ ， $\vec{A C} = (1 ， 2 ， 1)$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} =$ .

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14. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆 $C$ 的中心为原点，焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 均在 $x$ 轴上，且 $| F_{1} F_{2} | = 6$ ， $C$ 的面积为 $6 π$ ，则 $C$ 的标准方程为．

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15. 直线 $l ： m x - y - 3 m + 1 = 0$ 与圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 16$ 相交于A ， B两点，则 $| A B |$ 的最小值为.

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = - 1$ ， $(2 + \frac{1}{a_{1}}) (2 + \frac{1}{a_{2}}) (2 + \frac{1}{a_{3}}) \cdot \cdot \cdot (2 + \frac{1}{a_{n}}) = a_{n + 1}$ ，则使得 $a_{n} \geq 1023$ 成立的n的最小值为.

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三、解答题

17.

(1)、已知双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为2，求E的渐近线方程；

(2)、已知F是抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点， $A (m ， - 4)$ 是C上一点，且 $| A F | = 4$ ，求C的方程.

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18. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，O是 $A C$ 的中点， $A B = \sqrt{2} A A_{1}$ ．

(1)、证明： $O B_{1} ⊥ C D_{1}$ ．

(2)、求直线 $A C$ 与平面 $A_{1} C D_{1}$ 所成角的正弦值．

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19. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = - 186$ ， $a_{90} + a_{100} = 0$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${| a_{n} |}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 3 a_{n} - 2$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；.

(2)、求数列 ${n a_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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21. 如图1，在边长为4的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，沿DE把 $△ A D E$ 折起，得到如图2所示的四棱锥.

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $A_{1} B D$ .

(2)、若二面角 $A_{1} - D E - B$ 的大小为60°，求平面 $A_{1} B C$ 与平面 $A_{1} E C$ 的夹角的大小.

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22. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为 $4 \sqrt{3}$ ，点 $P (2 \sqrt{3} ， 1)$ 在C上

(1)、求C的方程；

(2)、过点 $Q (2 ， 0)$ 的直线 $l_{1}$ 与C交于M，N两点，点R是直线 $l_{2}$ ： $x = m$ 上任意一点，设直线RM，RQ，RN的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ ，若 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ 成等差数列，求 $l_{2}$ 的方程.

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