湖南省岳阳市临湘市2021-2022学年高二上学期数学期末教学质量检测试卷

试卷更新日期：2022-11-17 类型：期末考试

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一、单选题

1. 向量 $\vec{a} = (2 ， 4 ， 5)$ ，向量 $\vec{b} = (1 ， 2 ， t)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $t =$ （）

A、 $\frac{5}{2}$ B、1 C、-2 D、 $- \frac{8}{5}$

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2. 如图，在四面体 $O A B C$ 中， $M$ ， $N$ 分别是 $O A$ ， $B C$ 的中点，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O C} - \frac{1}{2} \vec{O A}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{O A} - \frac{1}{2} \vec{O C} - \frac{1}{2} \vec{O B}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O C} + \frac{1}{2} \vec{O A}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{O C} - \frac{1}{2} \vec{O B}$

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3. 以 $x$ 轴为对称轴，抛物线通径的长为8，顶点在坐标原点的抛物线的方程是（）

A、 $y^{2} = 8 x$ B、 $y^{2} = - 8 x$ C、 $y^{2} = 8 x$ 或 $y^{2} = - 8 x$ D、 $x^{2} = 8 y$ 或 $x^{2} = - 8 y$

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4. 圆 $x^{2} + y^{2} + 4 x - 12 y + 1 = 0$ 关于直线 $a x - b y + 6 = 0 (a > 0 ， b > 0)$ 对称，则 $\frac{2}{a} + \frac{6}{b}$ 的最小值是（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\frac{20}{3}$ C、 $\frac{32}{3}$ D、 $\frac{16}{3}$

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5. 某研究所计划建设n个实验室，从第1实验室到第n实验室的建设费用依次构成等差数列，已知第7实验室比第2实验室的建设费用多15万元，第3实验室和第6实验室的建设费用共为61万元.现在总共有建设费用438万元，则该研究所最多可以建设的实验室个数是（）

A、10 B、11 C、12 D、13

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6. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，且 $a_{5} a_{6} + a_{4} a_{7} = 6$ ，则 $\log_{3} a_{1} + \log_{3} a_{2} + \dots \dots + \log_{3} a_{10} =$ （）

A、 $3^{5}$ B、 $5$ C、 $\log_{3} 15$ D、 $30$

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7. 从直线 $l ： 3 x + 4 y = 15$ 上的动点 $P$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 的两条切线，切点分别为 $C$ 、 $D$ ，则 $∠ C P D$ 最大时，四边形 $O C P D$ （ $O$ 为坐标原点）面积是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2$

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8. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 的直线交双曲线右支于A、B两点，若 $△ A B F_{1}$ 是等腰三角形，且 $∠ A = 120^{\circ}$ ，则 $△ A B F_{1}$ 的周长为（）

A、 $\frac{16 \sqrt{3}}{3} + 8$ B、 $4 (\sqrt{2} - 1)$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3} + 8$ D、 $2 (\sqrt{3} - 2)$

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二、多选题

9. 已知M ， A ， B ， C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使 ${\vec{M A} ， \vec{M B} ， \vec{M C}}$ 成为空间的一个基底的是（）

A、 $\vec{O M} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{1}{4} \vec{O B} + \frac{1}{5} \vec{O C}$ B、 $\vec{M A} = \vec{M B} + 2 \vec{M C}$ C、 $\vec{O M} = \vec{O A} + 2 \vec{O B} + 3 \vec{O C}$ D、 $\vec{M A} = 3 \vec{M B} - 2 \vec{M C}$

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10. 圆 $O_{1} ： x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 和圆 $O_{2} ： x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y = 0$ 的交点为A ， B ，则有（）

A、公共弦AB所在直线的方程为 $x - y = 0$ B、公共弦AB所在直线的方程为 $x + y - 1 = 0$ C、公共弦AB的长为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、P为圆 $O_{1}$ 上一动点，则P到直线AB距离的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2} + 1$

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11. 已知数列{an}的n项和为 $S_{n} = - n^{2} + 33 n$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{n} = - 2 n + 34$ B、S₁₆为Sn的最小值 C、 $| a_{1} | + | a_{2} | + \dots + | a_{16} | = 272$ D、使得 $S_{n} > 0$ 成立的n的最大值为33

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12. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 且 $| F_{1} F_{2} | = 2$ ，点 $P (1 ， 1)$ 在椭圆内部，点 $Q$ 在椭圆上，则以下说法正确的是（）

A、 $| Q F_{1} | + | Q P |$ 的最小值为 $2 a - 1$ B、椭圆 $C$ 的短轴长可能为2 C、椭圆 $C$ 的离心率的取值范围为 $(0 ， \frac{\sqrt{5} - 1}{2})$ D、若 $\vec{P F_{1}} = \vec{F_{1} Q}$ ，则椭圆 $C$ 的长半轴长为 $\sqrt{5} + \sqrt{17}$

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三、填空题

13. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{1} + a_{3} + a_{5} = 21$ ，则 $a_{3} + a_{5} + a_{7} =$ ．

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14. 已知圆 $M : x^{2} + y^{2} - 12 x - 14 y + 60 = 0$ ，圆 $N$ 与 $x$ 轴相切，与圆 $M$ 外切，且圆心 $N$ 在直线 $x = 6$ 上，则圆 $N$ 的标准方程为．

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15. 已知 $\vec{a} = (3, - 2, - 3)$ ， $\vec{b} = (- 1, x - 1, 1)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角，则 $x$ 的取值范围是.

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16. 如图，椭圆 $E$ 的左右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，以 $F_{2}$ 为圆心的圆过原点，且与椭圆 $E$ 在第一象限交于点 $P$ ，若过 $P$ ､ $F_{1}$ 的直线 $l$ 与圆 $F_{2}$ 相切，则直线 $l$ 的斜率 $k =$ ；椭圆 $E$ 的离心率 $e =$ .

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四、解答题

17. 直线 $l$ 经过两直线 $l_{1} ： 3 x + 4 y - 2 = 0$ 和 $l_{2} ： 2 x + y + 2 = 0$ 的交点．

(1)、若直线 $l$ 与直线 $3 x + y - 1 = 0$ 平行，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若点 $A (3 ， 1)$ 到直线 $l$ 的距离为 $5$ ，求直线 $l$ 的方程．

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{2} = 5$ ， $a_{5} + a_{7} = 26$ ，数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ．

(1)、求 $a_{n}$ 及 $S_{n}$ ；

(2)、设 ${b_{n} - a_{n}}$ 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$

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19. 如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D / / B C ， A B ⊥ A D ， A B = A D = A A_{1} = 2 B C = 2$

(1)、求二面角 $C_{1} - B_{1} C - D_{1}$ 的余弦值；

(2)、若点P为棱 $A D$ 的中点，点Q在棱 $A B$ 上，且直线 $B_{1} C$ 与平面 $B_{1} P Q$ 所成角的正弦值为 $\frac{4 \sqrt{5}}{15}$ ，求 $A Q$ 的长．

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 过点 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，且离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、设 $C$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 作直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $\vec{A F_{1}} \cdot \vec{B F_{1}} = \frac{1}{2}$ ，求 $△ A B F_{1}$ 的面积．

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = 2 - \frac{1}{a_{n}} (n \in N^{*})$ ．

(1)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} - 1}$ ，求证数列 ${b_{n}}$ 为等差数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{2 a_{n}}{n + 1}$ ，数列 ${c_{n} c_{n + 2}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，是否存在正整数m ，使得 $T_{n} < \frac{1}{c_{m} c_{m + 1}}$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 都成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，试说明理由．

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22. 如图，方程为 $x^{2} = 2 p y$ 的抛物线 $C$ ，其上一点 $Q (a ， 2)$ 到焦点 $F$ 的距离为 $3$ ，直线 $A B$ 与 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $A$ 在 $y$ 轴左侧，点 $B$ 在 $y$ 轴右侧），与 $y$ 轴交于 $D$ 点.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、若 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = - 4$ ，求证直线 $A B$ 过定点，并求出定点坐标；

(3)、若 $D (0 ， 5)$ ， $O A ⊥ B F$ ，求直线 $O A$ 的斜率 $t$ 的值.

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