湖南省邵阳市新邵县2021-2022学年高二上学期数学期末质量检测试卷

试卷更新日期：2022-11-17 类型：期末考试

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一、单选题

1. $- 401$ 是等差数列 $- 5$ ， $- 9$ ， $- 13 \dots$ ，的第（）项．

A、98 B、99 C、100 D、101

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2. 抛物线 $x = 2 y^{2}$ 的准线方程为（）

A、 $x = - \frac{1}{8}$ B、 $x = - \frac{1}{2}$ C、 $y = - \frac{1}{8}$ D、 $y = - \frac{1}{2}$

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3. 已知直线l₁：mx－2y＋1＝0，l₂：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l₁平行于l₂”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 若1，m，9三个数成等比数列，则圆锥曲线 $x^{2} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的离心率是（）．

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ 或 $\sqrt{10}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ 或2 C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ 或 $\sqrt{10}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ 或2

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5. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，D为棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点， $A C = 2$ ， $C C_{1} = B C = 1$ ， $A C ⊥ B C$ ，则异面直线CD与 $B C_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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6. 已知抛物线C： $y^{2} = 8 x$ 的焦点为F，准线为 $l$ ， P是 $l$ 上一点，Q是直线PF与C得一个交点，若 $\vec{F P} = 4 \vec{F Q}$ ，则 $| Q F | =$ （）

A、 $\frac{7}{2}$ B、 $3$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $2$

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7. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 过点 $F_{1}$ 的直线与圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 相切于点 $Q$ ，交双曲线的右支于点 $P$ ，且点 $Q$ 是线段 $P F_{1}$ 的中点，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为（）．

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ B、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ C、 $y = \pm \sqrt{3} x$ D、 $y = \pm 2 x$

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8. 人教A版选择性必修二教材的封面图案是斐波那契螺旋线，它被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵､鹦鹉螺等．斐波那契螺旋线的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5，8，…为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．下图为该螺旋线在正方形边长为1，1，2，3，5，8的部分，如图建立平面直角坐标系（规定小方格的边长为1），则接下来的一段圆弧所在圆的方程为（）．

A、 $x^{2} + y^{2} = 144$ B、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 144$ C、 ${(x + 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 169$ D、 ${(x - 4)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 169$

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二、多选题

9. 已知直线 $l ： m x - (2 - m) y + 1 - m = 0$ ，圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、直线l与圆C恒有两个公共点 B、圆心C到直线l的最大距离是 $\sqrt{2}$ C、存在一个m值，使直线l经过圆心C D、当 $m = 1$ 时，圆C与圆 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 关于直线l对称

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10. 已知递减的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{5} = S_{9}$ ，则（）

A、 $a_{7} > 0$ B、 $S_{7}$ 最大 C、 $S_{14} > 0$ D、 $S_{13} > 0$

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11. 在棱长为1的正方体ABCD- A₁B₁C₁D₁中，O为底面ABCD的中心，则（）

A、AC₁⊥B₁C B、直线CD₁与BD 所成的角为60° C、三棱锥O-B₁CD₁的体积为 $\frac{1}{3}$ D、直线AC₁与平面AA₁D₁D所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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12. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，其长轴长是短轴长的 $\frac{5}{4}$ ，若点P是椭圆上不与 $F_{1} ， F_{2}$ ，共线的任意点，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为16，则下列结论正确的是（）

A、C的方程为 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ B、C的离心率为 $\frac{4}{5}$ C、双曲线 $\frac{x^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的渐近线与椭圆C在第一象限内的交点为 $(\frac{10}{3} ， \frac{4}{3} \sqrt{5})$ D、点Q是圆 $x^{2} + y^{2} = 25$ 上一点，点A，B是C的左右顶点（Q不与A，B重合），设直线 $P B$ ， $Q B$ 的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ ，若A，P，Q三点共线则 $25 k_{1} = 16 k_{2}$

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三、填空题

13. 已知直线 $l_{1} : (m - 1) x - 3 y + 3 = 0$ 和直线 $l_{2} : 2 x + m y - 5 = 0$ 垂直，则实数 $m =$ .

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14. 过点 $P (0, 2)$ 作圆 $x^{2} + y^{2} + 8 x + 7 = 0$ 的两条切线，切点为A，B，则直线 $A B$ 的一般式方程为.

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15. 在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P是AC与BD的交点，若 $A B = A D = A A_{1} = 2$ ，且 $∠ A A_{1} B_{1} = ∠ A A_{1} D_{1} = ∠ B_{1} A_{1} D_{1} = 60 °$ ，则 $| \vec{A_{1} P} | =$ .

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16. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为F，以F为圆心，以a为半径的圆与双曲线C的一条渐近线交于A，B两点.若 $\vec{O A} = 2 \vec{O B}$ (O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为.

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四、解答题

17. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 与曲线 $E : \frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的右焦点重合.

(1)、求抛物线 $C$ 的标准方程；

(2)、若抛物线 $C$ 上的点 $P$ 满足 $| P F | = 6$ ，求 $P$ 点的坐标.

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18. 已知 ${a_{n}}$ 是等差数列， ${b_{n}}$ 是各项都为正数的等比数列， $a_{1} = b_{2} = 1$ ，再从① $a_{2} + a_{4} = 10$ ；② $b_{2} b_{4} = 4$ ；③ $b_{4} = a_{5}$ 这三个条件中选择___________，___________两个作为已知.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和.

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19. 已知圆C的圆心在直线 $y = x$ 上，圆心到x轴的距离为2，且截y轴所得弦长为 $2 \sqrt{14}$ ．

(1)、求圆C的方程；

(2)、若圆C上至少有三个不同的点到直线 $l ： y = k x$ 的距离为 $2 \sqrt{2}$ ，求实数k的取值范围．

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20. 如图，四边形 $A B E F$ 是矩形，平面 $A B C ⊥$ 平面 $A B E F$ ， $D$ 为 $B C$ 中点， $∠ C A B = 120 °$ ， $A B = A C = 4$ ， $A F = \sqrt{6}$ ．

(1)、证明：平面 $A D F ⊥$ 平面 $B C F$ ；

(2)、求二面角 $F - A D - E$ 的余弦值．

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} - 2 (n \in N^{*})$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1 + \log_{2} a_{n}}{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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22. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，且经过点 $(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、经过点 $M (0, 2)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $A$ ， $B$ ， $O$ 为坐标原点，若 $△ O A B$ 的面积为 $\frac{4 \sqrt{6}}{17}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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