湖南省娄底市新化县2021-2022学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-11-17 类型：期末考试

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一、单选题

1. 经过 $A (- 2 ， 0) ， B (- 5 ， 3)$ 两点的直线的倾斜角是（）

A、 $45^{\circ}$ B、 $135^{\circ}$ C、 $90^{\circ}$ D、 $60^{\circ}$

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2. 已知 $\vec{a} = (1 ， - 2 ， 1)$ ， $\vec{a} - \vec{b} = (- 1 ， 2 ， - 1)$ ，则 $\vec{b} =$ （）

A、 $(- 2 ， 0 ， - 2)$ B、 $(- 2 ， 4 ， - 2)$ C、 $(2 ， - 4 ， 2)$ D、 $(2 ， 1 ， - 3)$

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3. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} \cdot a_{7} = 64$ ， $a_{4} = 4$ ，则公比 $q =$ （）

A、 $- 2$ B、 $\pm \sqrt{2}$ C、 $\pm 2$ D、 $2$

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4. 抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点到其准线的距离是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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5. 四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若 $\vec{A E} = x \vec{A B} + 2 y \vec{B C} + 3 z \vec{A P}$ ，则 $x + y + z$ 等于（）

A、1 B、 $\frac{11}{12}$ C、 $\frac{11}{6}$ D、2

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6. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）

A、192 里 B、96 里 C、48 里 D、24 里

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7. 已知椭圆： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 2)$ ，左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $A ， B$ 两点，若 $| \overset{⇀}{B F_{2}} | + | \overset{⇀}{A F_{2}} |$ 的最大值为5，则 $b$ 的值是（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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8. 若函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 满足 $f (x) + x g (x) = x^{2} - 1 ，$ 且 $f (1) = 1$ ，则 $f^{'} (1) + g^{'} (1) =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、多选题

9. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $S_{n} = n^{2} + 1$ ，则 ${a_{n}}$ 是等差数列 B、若 $S_{n} = 3^{n} - 1$ ，则 ${a_{n}}$ 是等比数列 C、若 ${a_{n}}$ 是等差数列，则 $S_{9} = 9 a_{5}$ D、若 ${a_{n}}$ 是等比数列，且 $a_{1} > 0$ ， $q > 0$ ，则 $S_{1} S_{3} > S_{2}^{2}$

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10. 已知方程 $m x^{2} + n y^{2} = 1$ $(m ， n \in R)$ ，则（）

A、当 $m n > 0$ 时，方程表示椭圆 B、当 $m n < 0$ 时，方程表示双曲线 C、当 $m = 0$ 时，方程表示两条直线 D、方程表示的曲线不可能为抛物线

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11. 对于任意非零向量 $\vec{a} = (x_{1} ， y_{1} ， z_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2} ， y_{2} ， z_{2})$ ，以下说法错误的有（）

A、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2} = 0$ B、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $\frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{y_{1}}{y_{2}} = \frac{z_{1}}{z_{2}}$ C、 $\cos < \vec{a} ， \vec{b} > = \frac{x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + z_{1}^{2}} \cdot \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2} + z_{2}^{2}}}$ D、若 $x_{1} = y_{1} = z_{1} = 1$ ，则 $\vec{a}$ 为单位向量

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12. 设函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{\ln x}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 定义域是 $(0 ， 1) \cup (1 ， + \infty)$ B、 $x \in (0 ， 1)$ 时， $f (x)$ 图象位于x轴下方 C、 $f (x)$ 存在单调递增区间 D、 $f (x)$ 有且仅有两个极值点

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三、填空题

13. 若两条直线 $a x + 2 y - 1 = 0$ 与 $3 x - 6 y - 1 = 0$ 互相垂直，则a的值为.

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14. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n} = \frac{2}{3} a_{n - 1} + 1 (n \geq 2)$ ，则 $a_{3} =$ .

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15. 双曲线 $9 y^{2} - 16 x^{2} = 144$ 的渐近线方程为．

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16. 已知关于 $x$ 的不等式 $2 \ln x + a x - 2 x^{2} \leq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知直线 $l$ 过点 $P (\sqrt{3} ， - 1)$ ，且其倾斜角是直线 $y = - \sqrt{3} x + 1$ 的倾斜角的 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求直线 $l$ 的方程；

(2)、若直线 $m$ 与直线 $l$ 平行，且点 $P$ 到直线 $m$ 的距离是3，求直线 $m$ 的方程．

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} + a_{6} = 6 ， a_{4} = 2$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $S_{n}$ 的最大值及相应的 $n$ 的值.

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19. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - a = 0$ ，点 $P (3 ， 0)$ ．

(1)、若点 $P$ 在圆 $C$ 外部，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a = - 1$ 时，过点 $P$ 的直线 $l$ 交圆 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，求 $Δ A B C$ 面积的最大值及此时直线l的斜率．

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20. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD ， AD//BC ， AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，直线BC与平面PCD所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ .

(1)、求证：平面PCD⊥平面PAC；

(2)、求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ 的焦点与双曲线 $D ： \frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{t} = 1 (t > 0)$ 的焦点相同，且D的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

(1)、求C与D的方程；

(2)、若 $P (0 ， 1)$ ，直线 $l ： y = - x + m$ 与C交于A ， B两点，且直线PA ， PB的斜率都存在.
①求m的取值范围.

②试问这直线PA ， PB的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{2}{x} + a \ln x$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $x = 2$ 处取得极值，求 $f (x)$ 在 $(1 ， 2)$ 处的切线方程；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若函数 $f (x)$ 在 $[1 ， e]$ 上无零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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