黑龙江省五校2021-2022学年高二上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2022-11-17 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $x + y - 1 = 0$ 的倾斜角为（　　）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $135 °$

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2. 若两条直线 $a x + 2 y - 1 = 0$ 与 $3 x - 6 y - 1 = 0$ 互相垂直，则 $a$ 的值为（）

A、4 B、-4 C、1 D、-1

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3. 已知等差数列 ${a_{n}}$ ， $a_{1} = 2 ， a_{3} = 5$ ，则公差d等于（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、3 D、-3

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4. 双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 的焦点坐标是（）

A、 $(0 ， - \sqrt{2}) ， (0 ， \sqrt{2})$ B、 $(- \sqrt{2} ， 0) ， (\sqrt{2} ， 0)$ C、 $(0 ， - 2) ， (0 ， 2)$ D、 $(- 2 ， 0) ， (2 ， 0)$

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5. 双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = - 1$ 的渐近线方程是（）

A、 $x \pm 2 y = 0$ B、 $2 x \pm y = 0$ C、 $4 x \pm y = 0$ D、 $x \pm 4 y = 0$

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6. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 1 ， 0)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 0 ， 2)$ ，且 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 互相平行，则 $k$ 的值为（）

A、-2 B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{7}{5}$

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7. 数列 $- \frac{1}{5}$ ， $\frac{1}{7}$ ， $- \frac{1}{9}$ ， $\frac{1}{11}$ ，……的通项公式可能是 $a_{n} =$ （）

A、 $\frac{{(- 1)}^{n}}{3 n + 2}$ B、 $\frac{{(- 1)}^{n - 1}}{2 n + 3}$ C、 $\frac{{(- 1)}^{n}}{2 n + 3}$ D、 $\frac{{(- 1)}^{n - 1}}{3 n + 2}$

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8. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{D A} = \vec{a} ， \vec{D C} = \vec{b} ， \vec{D D_{1}} = \vec{c}$ ，则与向量 $\vec{D_{1} B}$ 相等的是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$ B、 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\vec{a} - \vec{b} - \vec{c}$

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二、多选题

9. (多选)下列说法中正确的是（）

A、若直线的斜率存在，则必有一个倾斜角与之对应 B、每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应 C、与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90° D、若直线的倾斜角为α ，则直线的斜率为tan α

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10. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ B A C = 60 °$ ， $P A = A B = 2$ ，以B为原点，分别以 $\vec{B C}$ ， $\vec{B A}$ ， $\vec{A F}$ 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设平面PAB和平面PBC的一个法向量分别为 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、点P的坐标为 $(0 ， 2 ， 2)$ B、 $\vec{P C} = (4 ， 0 ， - 2)$ C、 $\cos 〈 \vec{m} ， \vec{n} 〉 > 0$ D、 $\vec{n} = (0 ， - 2 ， 2)$

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11. 已知数列 $1 ， \sqrt{3} ， \sqrt{5} ， \sqrt{7} ， \dots$ ，则下列说法正确的是（）

A、此数列的通项公式是 $a_{n} = \sqrt{2 n - 1}$ B、 $3 \sqrt{5}$ 是它的第23项 C、此数列的通项公式是 $a_{n} = \sqrt{2 n + 1}$ D、 $3 \sqrt{5}$ 是它的第25项

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12. 已知 $M$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 上一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是其左右焦点，则下列选项中正确的是（）

A、椭圆的焦距为2 B、椭圆的离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $| M F_{1} | + | M F_{2} | = 2 \sqrt{2}$ D、 $△ M F_{1} F_{2}$ 的面积的最大值是4

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三、填空题

13. 已知P ， A ， B ， C四点共面，对空间任意一点O ，若 $\vec{O P} = 2 \vec{O A} + \vec{O B} + t \vec{O C}$ ，则 $t =$ .

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14. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 4 x = 0$ ，则圆心坐标为.

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15. 已知椭圆的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 的直线与椭圆交于A ， B两点，线段AB的长为5，若 $2 a = 8$ ，那么△ $A B F_{2}$ 的周长是.

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16. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和．若 $a_{1} = - 2, a_{2} + a_{6} = 2$ ，则 $S_{10} =$ ．

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四、解答题

17. 如图所示，已知定点 $Q (4 ， 0) ， P$ 为曲线 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上一个动点，求线段 $P Q$ 中点的轨迹方程.

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{3} = 12$ 且 $a_{4} = 8$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式及 $S_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{S_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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19. 如图所示，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A C ⊥ B C$ ， $A C = B C = 2$ ， $C C_{1} = 3$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在棱 $A A_{1}$ 和棱 $C C_{1}$ 上，且 $A D = 1$ ， $C E = 2$ ，点 $M$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $C_{1} M$ $/ /$ 平面 $D B_{1} E$ ；

(2)、求直线 $A B$ 与平面 $D B_{1} E$ 所成角的正弦值.

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20. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 经过点 $(1 ， - 1)$ .

(1)、求抛物线C的方程及其焦点坐标；

(2)、过抛物线C上一动点P作圆 $M ： {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 的两条切线，切点分别为A ， B ，求四边形 $P A M B$ 面积的最小值.

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