黑龙江省双鸭山市集贤县2021-2022学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-11-17 类型：期末考试

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一、单选题

1. 以 $x$ 轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是（）

A、 $y^{2} = 8 x$ B、 $y^{2} = - 8 x$ C、 $y^{2} = 8 x$ 或 $y^{2} = - 8 x$ D、 $x^{2} = 8 y$ 或 $x^{2} = - 8 y$

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2. 等差数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{7} > 0$ ， $a_{2} + a_{10} < 0$ ，则 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 的最小值为（）

A、 $S_{5}$ B、 $S_{6}$ C、 $S_{7}$ D、 $S_{8}$

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3. 曲线 $f (x) = e^{4 x} - x - 2$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程是（）

A、 $3 x + y + 1 = 0$ B、 $3 x + y - 1 = 0$ C、 $3 x - y + 1 = 0$ D、 $3 x - y - 1 = 0$

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4. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤”意思是：“现有一根金杖，长5尺，头部1尺，重4斤；尾部1尺，重2斤；若该金杖从头到尾每一尺重量构成等差数列，其中重量为 $W$ ，则 $W$ 的值为（）

A、4 B、12 C、15 D、18

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5. 已知双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，且三个数1， $a$ ， 9成等比数列，则下列结论正确的是（）

A、 $E$ 的焦距为 $\sqrt{5}$ B、 $E$ 的渐近线方程为 $\sqrt{3} x \pm \sqrt{2} y = 0$ C、 $E$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $E$ 的虚轴长为 $2 \sqrt{3}$

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6. 已知各项均为正数且单调递减的等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{3}$ 、 $\frac{3}{2} a_{4}$ 、 $2 a_{5}$ 成等差数列.其前 $n$ 项和为 $S {}_{n}$ ，且 $S_{5} = 31$ ，则（）

A、 $a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n - 4}$ B、 $a_{n} = 2^{n - 3}$ C、 $S_{n} = 32 - \frac{1}{2^{n - 5}}$ D、 $S_{n} = 2^{n - 4} - 16$

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7. 若直线 $y = k x + 1$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相交于 $P$ 、 $Q$ 两点，且 $∠ P O Q = 90^{\circ}$ （其中 $O$ 为原点），则 $k$ 的值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $1$ C、 $\pm \sqrt{2}$ D、 $\pm 1$

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8. 函数 $f (x) = \ln (x + \frac{1}{x}) - k$ 有两个不同的零点，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k \neq \ln 2$ B、 $k > \ln 2$ C、 $k \geq \ln 2$ D、 $0 < k < \ln 2$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的递增区间为 $(- \infty ， e)$ B、 $f (x)$ 极大值为 $\frac{1}{e}$ C、 $f (x)$ 的极大值点为 $(e ， \frac{1}{e})$ D、 $f (\sqrt{e}) < f (\sqrt{π}) < f (2)$

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10. 下列结论正确的有（）

A、已知点 $A (1 ， 1)$ ， $B (4 ， 2)$ ，若直线 $l ： y = k (x - 2)$ 与线段 $A B$ 相交，则 $k$ 的取值范围是 $[- 1 ， 1]$ B、点 $(0 ， 2)$ 关于 $y = x + 1$ 的对称点为 $(1 ， 1)$ C、直线方向向量为 $(3 ， \sqrt{3})$ ，则此直线倾斜角为 $30 °$ D、若直线 $l ： 2 x + a y + 1 = 0$ 与直线 $l_{2} ： a x + 2 y + 1 = 0$ 平行，则 $a = - 2$ 且两条直线间距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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11. 圆 $Q_{1} ： x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 和圆 $Q_{2} ： x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y = 0$ 的交点为 $A$ ， $B$ ，则有（）

A、公共弦 $A B$ 所在直线方程为 $x - y = 0$ B、 $P$ 为圆 $Q_{1}$ 上一动点，则 $P$ 到直线 $A B$ 距离的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2} + 1$ C、公共弦 $A B$ 的长为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、圆 $Q_{1}$ 上存在三个点到直线 $\sqrt{3} x - 3 y = 0$ 的距离为 $\frac{1}{2}$

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12. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点，且 $a$ ， $b$ ， $c$ 成等比数列（ $c$ 为双曲线的半焦距），点 $P$ 为双曲线右支上的点，点 $I$ 为 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心.若 $S_{△ I P F_{1}} = S_{△ I P F_{2}} + λ S_{△ I F_{1} F_{2}}$ 成立，则下列结论正确的是（）

A、当 $P F_{2} ⊥ x$ 轴时， $∠ P F_{1} F_{2} = 30^{\circ}$ B、离心率 $e = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ C、 $λ = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、点 $I$ 的横坐标为定值 $a$

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三、填空题

13. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} - a_{n} = 2 n - 1$ ， $n \in N^{*}$ ，则 $a_{n} =$ ．

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14. 当 $a$ 为任意实数时，直线 $(a - 1) x - y + a + 1 = 0$ 恒过定点 $C$ ，则以点C为圆心，半径为 $\sqrt{5}$ 圆的标准方程．

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15. 设 $f (x) = \frac{4^{x}}{4^{x} + 2}$ ，若 $S = f (\frac{1}{2015}) + f (\frac{2}{2015}) + \dots \dots + f (\frac{2014}{2015})$ ，则S＝.

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x} - a x$ ， $x \in (0 ， + \infty)$ ，当 $x_{2} > x_{1}$ 时，不等式 $\frac{f (x_{1})}{x_{2}} < \frac{f (x_{2})}{x_{1}}$ 恒成立，则实数a的取值范围为．

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四、解答题

17. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的点 $M (4 ， m)$ 到焦点 $F$ 的距离为6．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、设 $F$ 为抛物线 $C$ 的焦点，直线 $l ： y = 2 x - 8$ 与抛物线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，求 $△ F A B$ 的面积．

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18. 等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} a_{7} = - 16$ ， $a_{4} + a_{6} = 0$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若满足数列 ${a_{n}}$ 为递增数列，求数列 ${2^{8 + a_{n}} + a_{n}}$ 前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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19. 已知函数 $f (x) ＝ x^{3} + a x^{2} + b x + 1$ ，记f（x）的导数为f′（x）．若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为﹣3，且x＝2时y＝f（x）有极值，

(1)、求函数f（x）的解析式；

(2)、求函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值．

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20. 设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + 3 a_{2} + \cdot \cdot \cdot + (2 n - 1) a_{n} = n$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记数列 ${\frac{4 a_{n}}{2 n + 1}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，是否存在实数 $k$ ，使得 $S_{n} < k$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{3}{5}$ ，过左焦点 $F$ 且垂直于长轴的弦长为 $\frac{32}{5}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、点 $P (m ， 0)$ 为椭圆 $C$ 的长轴上的一个动点，过点 $P$ 且斜率为 $\frac{4}{5}$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A 、 B$ 两点，证明 $| P A |^{2} + | P B |^{2}$ 为定值.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - (a + 1) \ln x - \frac{1}{2} (a \in R ， a \neq 0)$ ．

(1)、讨论函数的单调性；

(2)、若对任意的 $x \in [1 ， + \infty)$ ，都有 $f (x) \geq 0$ 成立，求 $a$ 的取值范围．

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