河南省信阳市2021-2022学年高二上学期文数期末考试试卷

试卷更新日期：2022-11-17 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若 $a$ ， $b$ 为实数，且 $a > b$ ，则（）

A、 $2 a > b$ B、 $a^{2} > b$ C、 $\sqrt{a} > \sqrt{b}$ D、 $a (b - a) < b (b - a)$

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2. 若命题 $p$ 为“ $\forall x \geq 0$ ， $x (x + 1) \geq 0$ ”，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x < 0$ ， $x (x + 1) \geq 0$ B、 $\forall x \geq 0$ ， $x (x + 1) < 0$ C、 $\exists x \geq 0$ ， $x (x + 1) < 0$ D、 $\exists x < 0$ ， $x (x + 1) < 0$

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3. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足不等式组 ${\begin{array}{l} y \leq 2 x + 1 \\ y \leq - x \\ y \geq \frac{1}{2} x - 1 \end{array}$ ，若 $z = 2 x + 3 y$ ，则 $z$ 的最小值为（）

A、-9 B、 $- \frac{23}{3}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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4. 若方程 $\frac{x^{2}}{2 + m} + \frac{y^{2}}{- m - 1} = 1$ 表示的曲线为 $C$ ，则（）

A、 $- 2 < m < - 1$ 是 $C$ 为椭圆的充要条件 B、 $- 2 < m < - 1$ 是 $C$ 为椭圆的充分条件 C、 $- \frac{3}{2} < m < - 1$ 是 $C$ 为焦点在 $x$ 轴上椭圆的充要条件 D、 $- \frac{3}{2} < m < 0$ 是 $C$ 为焦点在 $x$ 轴上椭圆的充分条件

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5. 在 $△ A B C$ 中， $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\sin A ： \sin B ： \sin C = 1 ： \sqrt{2} ： \sqrt{5}$ ，则最大角的弧度数为（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{7 π}{12}$

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6. 设 $P$ 为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 右支上一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为左、右焦点， $| P F_{1} | = 4 | P F_{2} |$ ，则（）

A、 $P$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为一个锐角三角形的顶点 B、 $P$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为一个钝角三角形的顶点 C、 $P$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为一个直角三角形的顶点 D、 $P$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 不为三角形的顶点

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7. 以点 $P (- 1 ， 2)$ 为切点的曲线 $C ： y = x (x + 2) (x - 1)$ 的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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8. 已知命题p： $\forall x \in R$ ， $x^{2} \geq - 1$ ；命题q： $\exists x \in R$ ， $\cos x = - \sqrt{2}$ ，则（）

A、 $p \lor q$ 是假命题 B、 $p \land q$ 是真命题 C、 $(\neg p) \lor q$ 是真命题 D、 $p \land (\neg q)$ 是真命题

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9. 已知 $a$ ， $b$ 为正实数，且 $2 a + b = 1$ ，则 $\frac{2}{a} + \frac{a}{2 b}$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、6 D、7

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10. 设抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $M$ 在 $y$ 轴上.若线段 $F M$ 的中点 $B$ 在抛物线上， $M F = 6$ ，则点 $M$ 的坐标为（）

A、 $(0 ， - 32)$ B、 $(0 ， 32)$ C、 $(0 ， - 4 \sqrt{2})$ 或 $(0 ， 4 \sqrt{2})$ D、 $(0 ， 2)$ 或 $(0 ， - 2)$

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11. “天干地支纪年法”（也叫农历）源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，依此类推.今年（2021年）为“天干地支纪年法”的辛丑年，为了推算公元 $n$ 年（ $n$ 为不小于2021的正整数）所在的农历年份，我们定义数列 ${a_{n}}$ ： $a_{n} = (n - 2021) \div 60$ 的余数，若 $a_{n} = 0$ ，则公元第 $n$ 年为辛丑年；若 $a_{n} = 1$ ，则公元第 $n$ 年为壬寅年，依次类推，…，则以下不正确的为（）

A、 $a_{2149} = 8$ B、 $\forall n \in N *$ ， $a_{n + 60} = a_{n}$ C、 $a_{n} \neq a_{m} \Rightarrow n \neq m$ D、 $a_{n} = k \Rightarrow a_{n + 1} = k + 1$

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12. 如图所示，在直线坐标系xOy中，抛物线段ARB对应的函数解析式为 $y = 2 x^{2} - 2 (0 \leq x \leq 1)$ ，其中A ， B分别为抛物线段与x ， y轴的交点， $R (x_{0} ， y_{0})$ 为抛物线段上任意一点，过R点的直线PQ与抛物线段ARB相切，与x轴交于点P ，与y轴交于点Q ，过B作BC平行于x轴，与直线PQ交于C ，则以下错误的是（）

A、直线PQ的方程为 $4 x_{0} x - y - 2 (x_{0}^{2} + 1) = 0$ B、抛物线段ARB的长度大于 $\sqrt{5}$ C、抛物线段ARB与坐标轴围成的面积大于1 D、三角形POQ的面积取得最小值时， $x_{0} = \frac{1}{3}$

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = \cos x \ln x$ 的导函数为．

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14. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P (\sqrt{2} ， 1)$ 为C上一点，离心率 $e = \sqrt{2}$ ，则双曲线的标准方程为．

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15. 在 $△ A B C$ 中， $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别是内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边，若 $a + c = 3$ ， $a c = 1$ ， $\cos B = \frac{3}{4}$ ，则 $△ A B C$ 的周长为.

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16. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 、等比数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和之积为 $n^{2} 3^{2 n + 1} - 2 n \cdot 3^{2 n} - 3 n^{2} + 2 n$ ，设等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d$ 、等比数列的公比为 $q$ ，以下正确的所有序号为.① $a_{1} = - 1$ ；② $d = - 6$ ；③ $b_{1} = - 8$ ；④ $q = 9$ .

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三、解答题

17. 设 $p ： x^{2} - 4 a x + 3 a^{2} \leq 0$ ，其中 $a > 0$ ， $q ： x^{2} - 11 x + 18 \leq 0$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，且 $p \lor q$ 为真命题，求实数x的取值范围；

(2)、若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．

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18. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{4} = 0$ ， $a_{1} + a_{2} = - 5$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${2^{n} a_{n}}$ 的前 $n$ 项和.

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19. 在三角形 $A B C$ 中，已知角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b$ ， $c$ 为方程 $3 x^{2} - 12 x + 10 = 0$ 的两个根， $a = \sqrt{6}$ .

(1)、求三角形 $A B C$ 的面积；

(2)、求 $s i n B + s i n C$ 的值.

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20. 已知抛物线 $E ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ， $P$ 为 $E$ 上的一个动点， $Q (1 ， \frac{1}{2})$ 与 $F$ 在 $E$ 的同一侧，且 $P F + P Q$ 的最小值为 $\frac{5}{4}$ .

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、若 $A$ 点在 $y$ 轴正半轴上，点 $B$ 、 $C$ 为 $E$ 上的另外两个不同点， $B$ 点在第四象限，且 $A B$ ， $O C$ 互相垂直、平分，求四边形 $A O B C$ 的面积.

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21. 函数 $g (x)$ 的图象为曲线 $y = e^{x}$ 关于直线 $y = x$ 的对称曲线， $f (x) = \frac{e^{x}}{e^{a}} - g (x) - 1$ ，设 $f^{'} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导函数.

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f^{'} (x)$ 的零点；

(2)、 $a > 1$ 时，设 $f (x)$ 的最小值为 $h (a)$ ，求证： $h (a) < 0$ .

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，右焦点为 $F$ ，过 $F$ 作 $x$ 轴的垂线交双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的两条渐近线于 $E$ ， $G$ ，得到三角形 $O E G$ 的面积为1.

(1)、求 $a$ ， $b$ ；

(2)、设 $P$ ， $M$ ， $N$ 的三个点都在椭圆 $C$ 上，设 $M N$ 的中点为 $Q$ ，且 $\vec{P O} = 2 \vec{O Q}$ .求证： $△ P M N$ 的面积为定值.

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