河南省新乡市2021-2022学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2022-11-17 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 命题“ $\forall x > 0$ ， $2^{x} - 1 > 0$ ”的否定为（）

A、 $\forall x > 0$ ， $2^{x} - 1 \leq 0$ B、 $\forall x \leq 0$ ， $2^{x} - 1 \leq 0$ C、 $\exists x_{0} > 0$ ， $2^{x_{0}} - 1 \leq 0$ D、 $\exists x_{0} > 0$ ， $2^{x_{0}} - 1 > 0$

查看试题解析
2. 数列 $- 1$ ， $\frac{1}{4}$ ， $- \frac{1}{9}$ ， $\frac{1}{16}$ ， $- \frac{1}{25}$ ， …的一个通项公式为 $a_{n} =$ （）

A、 $\frac{{(- 1)}^{n}}{n^{2}}$ B、 $\frac{{(- 1)}^{n}}{{(n + 1)}^{2}}$ C、 $\frac{{(- 1)}^{n}}{3 n - 2}$ D、 $\frac{{(- 1)}^{n}}{2 n - 1}$

查看试题解析
3. 已知实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} y \leq 1 \\ x - y \leq 0 \\ x \geq - 2 \end{array}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最大值为（）

A、3 B、-3 C、-6 D、6

查看试题解析
4. 抛物线 $y = - \frac{1}{4} x^{2}$ 的焦点坐标为（）

A、 $(- 2 ， 0)$ B、 $(0 ， - 2)$ C、 $(- 1 ， 0)$ D、 $(0 ， - 1)$

查看试题解析
5. 已知空间向量 $\vec{A B} = (0 ， 1 ， - 2)$ ， $| \vec{A C} | = 2$ ， $〈 \vec{A B} ， \vec{A C} 〉 = \frac{2 π}{3}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} =$ （）

A、 $- \sqrt{5} - 5$ B、 $\sqrt{5} - 5$ C、 $- \sqrt{5} + 5$ D、 $\sqrt{5} + 5$

查看试题解析
6. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{| m |} = 1$ 的焦距为 $2 \sqrt{3}$ ，则m的值不可能为（）

A、1 B、7 C、-1 D、 $\sqrt{7}$

查看试题解析
7. 对于实数a，b，下列选项正确的是（）

A、若 $a < b$ ，则 $| a | < | b |$ B、若 $a < b$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{b}{a} < \frac{a}{b}$ D、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} < a b < b^{2}$

查看试题解析
8. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $c = 3 a \sin C$ ， $B = \frac{π}{4}$ ， △ABC外接圆的半径为6，则 $c =$ （）

A、 $6 + 4 \sqrt{2}$ B、 $6 + 2 \sqrt{2}$ C、 $8 + 4 \sqrt{2}$ D、 $8 + 2 \sqrt{2}$

查看试题解析
9. 已知p： $a < m$ （其中 $a \in R$ ， $m \in Z$ ），q：关于x的一元二次方程 $a x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 有一正一负两个根.若p是q的充分不必要条件，则m的最大值为（）

A、1 B、0 C、-1 D、2

查看试题解析
10. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A，B，C成等差数列，则 $\frac{a + c}{b}$ 的取值范围是（）

A、 $(1 ， 2]$ B、 $(1 ， \sqrt{3}]$ C、 $[\sqrt{3} ， 2]$ D、 $[\sqrt{2} ， 2)$

查看试题解析
11. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，P为 $C C_{1}$ 的中点，E为 $C_{1} D_{1}$ 的中点，F为 $B_{1} C_{1}$ 的中点，O为EF的中点，直线PE交直线 $D D_{1}$ 于点Q，直线PF交直线 $B B_{1}$ 于点R，则（）

A、 $\vec{A O} = \frac{5}{7} \vec{A P} + \frac{1}{7} \vec{A Q} + \frac{1}{7} \vec{A R}$ B、 $\vec{A O} = \frac{1}{2} \vec{A P} + \frac{1}{4} \vec{A Q} + \frac{1}{4} \vec{A R}$ C、 $\vec{A O} = \frac{2}{3} \vec{A P} + \frac{1}{6} \vec{A Q} + \frac{1}{6} \vec{A R}$ D、 $\vec{A O} = \frac{5}{9} \vec{A P} + \frac{2}{9} \vec{A Q} + \frac{2}{9} \vec{A R}$

查看试题解析
12. 已知焦距为6的双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，其中一条渐近线的斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过右焦点F₂的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，设M为 $△ F_{1} A B$ 的内切圆圆心，则 $\frac{S_{△ F_{1} A B}}{S_{△ M A B}}$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 2 \sqrt{6}]$ B、（2，6] C、 $[2 ， 2 \sqrt{6}]$ D、 $[2 \sqrt{6} ， 6]$

查看试题解析

二、填空题

13. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为2，前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{9} = 81$ ，则 $a_{3} =$ .

查看试题解析
14. 若正数a，b满足 $a + b = 2$ ，则 $\frac{1}{2 b} + \frac{2}{a + 1}$ 的最小值为.

查看试题解析
15. 已知点P是拋物线C： $y^{2} = 2 p x$ 上一点，C的焦点为F（1，0），点A的坐标为（4，2），则 $| P F | + | P A |$ 的最小值为．

查看试题解析
16. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，P为正方形 $B_{1} B C C_{1}$ （包括边界）内一动点，当P为 $B C_{1}$ 的中点时， $A_{1} P$ 与 $B D$ 所成角的余弦值为；若 $| \vec{A_{1} P} | = \sqrt{5}$ ，则 $| \vec{D P} |$ 的最大值为．

查看试题解析

三、解答题

17. 已知p： $x^{2} - 2 x + 1 - a^{2} \geq 0 (a > 0)$ ， q： $(x + 1) (x - 5) < 0$ .

(1)、当 $x = - 3$ 时，p为真命题，求实数a的取值范围；

(2)、若 $\neg p$ 是q的充分不必要条件：求实数a的取值范围.

查看试题解析
18. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\sqrt{3} c - \sqrt{3} b c o s A = b s i n A$ .

(1)、求B；

(2)、若 $b = \sqrt{3}$ ， $a = c + 1$ ，求c.

查看试题解析
19. 如图，四棱锥P—ABCD的底面为正方形，E为棱PD的中点，PA⊥平面ABCD，且PA＝2AB．

(1)、证明：PB∥平面ACE．

(2)、求直线PC与平面ACE所成角的正弦值．

查看试题解析
20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $n S_{n} = 2 n - (n + 2) a_{n}$ .

(1)、证明：数列 ${\frac{a_{n}}{n}}$ 是等比数列；

(2)、求数列 ${S_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

查看试题解析
21. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上一点 $P (\frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ 到两焦点的距离之和为 $2 \sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、不经过点 $Q (1 ， 0)$ 的直线l与x轴垂直，与椭圆C交于A，B两点，若直线BQ与C的另一交点为D，问直线AD是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

查看试题解析
22. 三等分角是古希腊三大几何难题之一，公元3世纪末，古希腊数学家帕普斯利用双曲线解决了三等分角问题，如图，已知直线l：x＝1与x轴交于点C，以C为圆心作圆交x轴于A，F两点，在直径AF上取一点B，满足 $| A B | = 2 | B F |$ ，以A，B为顶点，F为焦点作双曲线D： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ，与圆在第一象限交于点E，则E为圆弧AF的三等分点，即CE为∠ACF的三等分线．

(1)、求双曲线D的标准方程，并证明直线CE与双曲线D只有一个公共点．

(2)、过F的直线与双曲线D交于P，Q两点，过Q作l的垂线，垂足为R，试判断直线RP是否过定点．若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．

查看试题解析