河南省洛阳市2021-2022学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2022-11-17 类型：期末考试

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一、单选题

1. 不等式 $- x^{2} + 2 x + 3 > 0$ 的解集为（）

A、 $(- 1 ， 3)$ B、 $(- 3 ， 1)$ C、 $(- \infty ， - 1) \cup (3 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 3) \cup (1 ， + \infty)$

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2. “ $a > b$ ”是“ $| a | > | b |$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、即不充分也不必要条件

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3. 已知抛物线的准线方程为 $x = 1$ ，则此抛物线的标准方程为（）

A、 $x^{2} = - 2 y$ B、 $x^{2} = - 4 y$ C、 $y^{2} = - 2 x$ D、 $y^{2} = - 4 x$

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4. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{5} = 10$ ， $S_{10} = 50$ ，则 $S_{15} =$ （）

A、250 B、210 C、160 D、90

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5. 命题p：存在一个实数﹐它的绝对值不是正数.则下列结论正确的是（）

A、 $\neg p$ ：任意实数，它的绝对值是正数， $\neg p$ 为假命题 B、 $\neg p$ ：任意实数，它的绝对值不是正数， $\neg p$ 为假命题 C、 $\neg p$ ：存在一个实数，它的绝对值是正数， $\neg p$ 为真命题 D、 $\neg p$ ：存在一个实数，它的绝对值是负数， $\neg p$ 为真命题

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6. 在 $△ A B C$ 中，三个内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，若 $a \cos A = b \cos B$ ， $a^{2} + b^{2} - a b = c^{2}$ ， $a = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、2

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7. 在圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上任取一点P ，过点P作x轴的垂线段PD ， D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹记为C ，则曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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8. 如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B ， C的俯角分别为 $α$ 、 $β$ ，其中 $α = 60 °$ ， $β = 45 °$ .如果这时气球的高度 $A D = \sqrt{3} a$ ，则河流的宽度BC为（）

A、 $2 a$ B、 $\sqrt{3} a$ C、 $a$ D、 $(\sqrt{3} - 1) a$

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9. 120°的二面角的棱上有A ， B两点，直线AC ， BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知 $A B = 2$ ， $A C = 3$ ， $B D = 4$ ，则CD的长为（）

A、 $\sqrt{17}$ B、 $\sqrt{41}$ C、 $\sqrt{29 - 12 \sqrt{3}}$ D、 $\sqrt{29 + 12 \sqrt{3}}$

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10. 已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，过点 $P (1 ， 1)$ 作直线l与双曲线交于A ， B两点，则能使点P为线段AB中点的直线l的条数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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11. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是正方形，侧棱 $P D ⊥$ 底面ABCD ， $P D = D C = 1$ ，点E是棱PC的中点，作 $E F ⊥ P B$ ，交PB于F.下面结论正确的个数为（）
① $P A$ ∥平面EDB；② $P B ⊥$ 平面EFD；③直线DE与PA所成角为60°；④点B到平面PAC的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 在平面直角坐标系中，已知点 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ ， $C (2 ， 2)$ ， $D (3 ， 0)$ ，直线AP ， BP相交于点P ，且它们斜率之积是 $\frac{5}{4}$ .当 $| P A | < | P B |$ 时， $| P D | + | P C |$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{29} + 4$ B、 $\sqrt{29} - 4$ C、 $\sqrt{5} + 4$ D、 $\sqrt{5}$

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二、填空题

13. 椭圆 $2 x^{2} + y^{2} = 1$ 的焦距为.

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14. 已知实数x ， y满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x + y - 2 \geq 0 \\ x - 2 y + 4 \geq 0 \\ 3 x - y - 3 \leq 0 \end{array}$ ，则 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 的最小值为.

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15. 如图三角形数阵：
1

3    2

4    5    6

10    9    8    7

11    12    13    14    15

……

按照自上而下，自左而右的顺序， $2021$ 位于第 $i$ 行的第 $j$ 列，则 $i + j =$ .

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16. 直线l过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点F ，与抛物线交于A ， B两点，与其准线交于点C ，若 $\vec{A F} = \frac{3}{2} \vec{B C}$ ，则直线l的斜率为.

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三、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，且B ， A ， C成等差数列.

(1)、求A的大小；

(2)、若 $a = \sqrt{7}$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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18. 已知 $p ： \exists x_{0} \in R$ ，使 $2^{x_{0}} + m = 0$ ； $q ：$ 不等式 $2 x + m + \frac{8}{x - 1} > 0$ 对一切 $x \in (1 ， + \infty)$ 恒成立.如果 $p \lor q$ 为真命题， $p \land q$ 为假命题，求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ，且 $S_{n + 1} = 2 S_{n} + 2$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、在 $a_{n}$ 与 $a_{n + 1}$ 之间插入n个数，使这 $n + 2$ 个数组成一个公差为 $d_{n}$ 的等差数列，求证： $\frac{1}{d_{1}} + \frac{1}{d_{2}} + \frac{1}{d_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{d_{n}} < 3$ .

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20. 已知点 $A (1 ， 0)$ ，点 $B$ 为直线 $x = - 1$ 上的动点，过 $B$ 作直线 $x = - 1$ 的垂线 $l_{1}$ ，线段 $A B$ 的中垂线与 $l_{1}$ 交于点 $P$ .

(1)、求点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(2)、若过点 $E (2 ， 0)$ 的直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，求 $△ M O E$ 与 $△ N A E$ 面积之和的最小值.（ $O$ 为坐标原点）

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21. 如图， $△ A B C$ 中 $A B ⊥ B C$ ，且 $A B = 2 B C$ ，将 $△ A E F$ 沿中位线EF折起，使得 $A E ⊥ B E$ ，连结AB ， AC ， M为AC的中点.

(1)、证明： $M F ⊥$ 平面ABC；

(2)、求二面角 $E - M F - C$ 的余弦值.

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上、下顶点分别为A ， B ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，椭圆C上的点与其右焦点F的最短距离为 $\sqrt{2} - 1$ .

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、若直线 $l ： y = k x + m$ 与椭圆C交于P ， Q两点，直线PA与QB的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且 $2 k_{1} + k_{2} = 0$ ，那么直线l是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由.

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