河北省石家庄市2021-2022学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-11-17 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 ${a_{n}}$ 是等差数列， $a_{1} + a_{3} + a_{5} = 105$ ， $a_{2} + a_{4} + a_{6} = 99$ ，则公差 $d$ 为（）

A、6 B、 $- 6$ C、 $- 2$ D、2

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2. 甲、乙两名射击运动员进行比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则两人各射击一次恰有一人中靶的概率为（）

A、0.26 B、0.28 C、0.72 D、0.98

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3. 如图所示，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，点 $M$ 是 $A_{1} D_{1}$ 的中点，点 $N$ 是 $C A_{1}$ 上的点，且 $C N ： C A_{1} = 1 ： 4$ ，则向量 $\vec{M N}$ 可表示为（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\frac{1}{4} \vec{a} - \frac{3}{8} \vec{b} - \frac{1}{4} \vec{c}$ D、 $\frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} - \frac{3}{4} \vec{c}$

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4. 已知 $F$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{15} = 1$ 的左焦点， $P$ 为椭圆 $C$ 上任意一点，点 $Q$ 坐标为 $(4 ， 4)$ ，则 $| P Q | + | P F |$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{41}$ B、13 C、3 D、5

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5. 已知倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线与双曲线 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ，相交于 $A$ ， $B$ 两点， $M (1 ， 3)$ 是弦 $A B$ 的中点，则双曲线的渐近线的斜率是（）

A、 $\pm \sqrt{3}$ B、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\pm \sqrt{2}$ D、 $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

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6. 若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} + 3 b_{2} + 7 b_{3} + \dots + (2^{n} - 1) b_{n} = n$ ，则数列 ${b_{n}}$ 的通项公式为（）

A、 $b_{n} = 2 n$ B、 $b_{n} = 2^{n}$ C、 $b_{n} = \frac{4}{2^{n}}$ D、 $b_{n} = \frac{1}{2^{n} - 1}$

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7. 边长 $\sqrt{2}$ 为的正方形 $A B C D$ 沿对角线 $B D$ 折成直二面角， $E$ 、 $F$ 分别为 $A D$ 、 $B C$ 的中点， $O$ 是正方形 $A B C D$ 的中心，则 $∠ E O F$ 的大小为（）

A、 $60^{°}$ B、 $120^{°}$ C、 $45^{°}$ D、 $135^{°}$

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8. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是椭圆和双曲线的公共焦点， $P$ 是它们的一个公共点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{2 π}{3}$ ，椭圆的离心率为 $e_{1}$ ，双曲线的离心率为 $e_{2}$ ，则 $\frac{3}{e_{1}^{2}} + \frac{1}{e_{2}^{2}} =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、多选题

9. 给出下列四个命题，其中正确的命题有（）

A、甲、乙二人比赛，甲胜的概率为 $\frac{3}{5}$ ，则比赛5场，甲胜3场 B、抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件 $A$ 为“向上的点数为1或4”，事件 $B$ 为“向上的点数为奇数”，则 $A$ 与 $B$ 互为对立事件 C、抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是 $\frac{9}{50}$ D、随机事件发生的频率不一定是这个随机事件发生的概率

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10. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过坐标原点 $O$ 的直线与双曲线 $C$ 交于 $A 、 B$ 两点，点 $P$ 为双曲线 $C$ 上异于 $A 、 B$ 的一动点，则下列结论正确的有（）

A、 $\vec{F_{2} A} \cdot \vec{F_{2} B}$ 的最大值为9 B、若以 $A B$ 为直径的圆经过双曲线的右焦点 $F_{2}$ ，则 $S_{Δ A F_{1} F_{2}} = 16$ C、若 $| P F_{1} | = 7$ ，则有 $| P F_{2} | = 1$ 或13 D、设 $P A$ ， $P B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ ，则 $\frac{1}{k_{1}^{2}} + \frac{4}{k_{2}^{2}}$ 的最小值为 $\frac{9}{4}$

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = \frac{3}{2} a_{n} - 1$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{a_{n}}{S_{n} \cdot S_{n + 1}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，则下列命题正确的是（）

A、数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = 3^{n - 1}$ B、 ${\lg a_{n}}$ 为等差数列 C、 $T_{n}$ 的取值范围是 $[\frac{1}{8} ， \frac{1}{6})$ D、数列 ${b_{n}}$ 的通项公式 $b_{n} = \frac{2 \times 3^{n - 1}}{(3^{n} - 1) (3^{n + 1} - 1)}$

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12. 设 $m \in R$ ，直线 $m x - y - 3 m + 1 = 0$ 与直线 $x + m y - 3 m - 1 = 0$ 相交于点 $P (x ， y)$ ，线段 $A B$ 是圆 $C ： {(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 9$ 的一条动弦， $Q$ 为弦 $A B$ 的中点， $| A B | = 4 \sqrt{2}$ ，下列说法正确的是（）

A、点 $P$ 在定圆 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 8$ 上 B、点 $P$ 在圆 $C$ 外 C、线段 $P Q$ 长的最大值为 $6 + \sqrt{2}$ D、 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最小值为 $15 - 8 \sqrt{2}$

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三、填空题

13. 抛物线y=2x²的焦点坐标是

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14. 如图，甲站在水库底面上的点 $D$ 处，乙站在水坝斜面上的点 $C$ 处，已知库底与水坝斜面所成的二面角为 $120^{°}$ ，测得从 $D$ ， $C$ 到库底与水坝斜面的交线的距离分别为 $D A = 80 m$ ， $B C = 60 m$ ，若 $A B = 40 m$ ，则甲，乙两人相距．

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15. 若椭圆 $\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ 的焦点在 $y$ 轴上，过点 $(1 ， \frac{1}{2})$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 的切线，切点分别为 $A$ ， $B$ ，直线 $A B$ 恰好经过椭圆的上焦点和右顶点，则椭圆的方程是．

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16. 已知递增数列 ${a_{n}}$ 共有2021项，且各项均不为零， $a_{2021} = 1$ ，如果从 ${a_{n}}$ 中任取两项 $a_{i} ， a_{j}$ ，当 $i < j$ 时， $a_{j} - a_{i}$ 仍是数列 ${a_{n}}$ 中的项，则 $a_{n}$ 的范围是，数列 ${a_{n}}$ 的所有项和 $S_{2021} =$ ．

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四、解答题

17. 已知 ${a_{n}}$ 是公差不为0的等差数列， $S_{5} = 20$ ，且 $a_{3} ， a_{5} ， a_{10}$ 成等比数列

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} + 2^{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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18. 已知三个条件①圆心 $C$ 在直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + 1$ 上；②圆的半径为2；③圆过点 $M (\sqrt{3} ， 2)$ 在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

(1)、已知圆 $C$ 过点 $A (2 ， 1)$ 且圆心在 $y$ 轴上，且满足条件________，求圆 $C$ 的方程；

(2)、在（1）的条件下，直线 $l ： a x + y - a - 2 = 0$ 与圆 $C$ 交于 $P$ 、 $Q$ 两点，求弦长 $| P Q |$ 的最小值及相应的 $a$ 值．

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19. 已知某中学高二物化生组合学生的数学与物理的水平测试成绩抽样统计如下表：

若抽取了 $n$ 名学生，成绩分为A（优秀），B（良好），C（及格）三个等级，设 $x$ ， $y$ 分别表示数学成绩与物理成绩，例如：表中物理成绩为A等级的共有 $14 + 40 + 10 = 64$ （人），数学成绩为B等级且物理成绩为C等级的共有8人，已知 $x$ 与 $y$ 均为A等级的概率是0.07．

(1)、设在该样本中，数学成绩的优秀率是30％，求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、已知 $a \geq 12$ ， $b \geq 10$ ，求数学成绩为A等级的人数比C等级的人数多的概率．

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20. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $P B ⊥ B C$ ， $P D ⊥ C D$ ，且 $P A = 2$ ， $E$ 为 $P D$ 的中点．

(1)、求平面 $P A B$ 与平面 $A C E$ 夹角的余弦值；

(2)、在线段 $B C$ 上是否存在点 $F$ ，使得点 $E$ 到平面 $P A F$ 的距离为 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ ？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $F ： {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 外的点 $P$ 在 $y$ 轴的右侧运动，且 $P$ 到圆 $F$ 上的点的最小距离等于它到 $y$ 轴的距离，记 $P$ 的轨迹为 $E$ ．

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、过点 $F$ 的直线交 $E$ 于 $A$ ， $B$ 两点，以 $A B$ 为直径的圆 $D$ 与平行于 $y$ 轴的直线相切于点 $M$ ，线段 $D M$ 交 $E$ 于点 $N$ ，证明： $N$ 是 $D M$ 的中点．

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22. 设抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $M (1 ， m)$ 在抛物线上，且 $| M F | = 2$ ，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 右焦点也为 $F$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求抛物线方程和椭圆方程；

(2)、若不经过 $F$ 的直线与抛物线交于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = - 3$ （ $O$ 为坐标原点），直线与椭圆交于 $C$ 、 $D$ 两点，求 $△ C D F$ 面积的最大值．

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