河北省邯郸市2021-2022学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-11-17 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{n + 1} - a_{n} = 2$ ，若 $a_{2} = 4$ ，则 $a_{8} =$ （）

A、14 B、16 C、18 D、20

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2. 已知直线 $l_{1} ： a x + y + 1 = 0$ 与直线 $l_{2} ： x + (2 a - 3) y + 5 = 0$ 垂直，则 $a =$ （）

A、3 B、2 C、1 D、-1

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3. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{26} - \frac{y^{2}}{13} = 1$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ B、 $y = \pm \sqrt{2} x$ C、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ D、 $y = \pm 2 x$

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4. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} a_{8} a_{15} = 27$ ，则 $a_{3} \cdot a_{13} =$ （）

A、3 B、6 C、9 D、18

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5. 已知直线 $l_{1} ： x + a y + 5 = 0$ ， $l_{2} ： a x + y + 7 = 0$ ，若 $l_{1} // l_{2}$ ，则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 间的距离为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $6 \sqrt{2}$ C、2或12 D、 $\sqrt{2}$ 或 $6 \sqrt{2}$

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6. 已知三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B ⊥ A D$ ， $A B ⊥ A C$ ， $A C ⊥ A D$ ， $A B = A C = A D$ ， E ， F分别为棱 $C D$ ， $A B$ 的中点，则直线 $E F$ 与 $A C$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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7. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 1$ ， $a_{10} + a_{11} + a_{12} = 7$ ，则 $S_{102} =$ （）

A、67 B、1122 C、1156 D、1190

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8. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y - 8 = 0$ ，直线 $l ： 2 x - y + 8 = 0$ ， P为直线l上的动点，过点P作圆C的切线，切点分别为点A ， B ，圆C的圆心为C ，当四边形 $P A C B$ 的面积最小时， $| A B | =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{6 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{8 \sqrt{5}}{5}$

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二、多选题

9. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是空间的一个基底，则下列说法中正确的是（）

A、若 $x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c} = \vec{0}$ ，则 $x = y = z = 0$ B、 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 两两共面，但 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 不共面 C、一定存在实数x ， y ，使得 $\vec{a} = x \vec{b} + y \vec{c}$ D、 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{b} - \vec{c}$ ， $\vec{c} + 2 \vec{a}$ 一定能构成空间的一个基底

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10. 已知圆 $M ： {(x + 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ ，圆 $N ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 1 = 0$ ，则下列说法中正确的有（）

A、当 $r = 2$ 时，两圆有四条公切线 B、当 $r = 3$ 时，两圆有四条公切线 C、当 $r = 4$ 时，两圆公共弦所在直线方程为 $6 x + 8 y - 9 = 0$ D、当 $r = 5$ 时，两圆有一条公切线

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11. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{n} > 0$ ， $a_{2} \cdot a_{5} = 8 a_{3}$ ， $a_{3} + a_{4} = 6 a_{2}$ ，则下列结论中正确的有（）

A、 $a_{1} = 2$ B、 $a_{n} = 2^{n - 1}$ C、若m ， $n \in N^{*}$ ， $a_{m} \cdot a_{n} = 16$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{4}{n}$ 的最小值为是 $\frac{3}{2}$ D、存在m ， n ， $p \in N^{*}$ ，且 $m < n < p$ ，使得 $a_{m} + a_{n} = a_{p}$

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12. 已知双曲线 $C ： \frac{y^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{16} = 1$ 的上､下焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P在双曲线C的上支上，点 $Q (- 5 ， 0)$ ，则下列说法正确的有（）

A、双曲线C的离心率为 $\frac{4}{3}$ B、 $| P F_{2} |$ 的最小值为8 C、 $△ P Q F_{2}$ 周长的最小值为 $6 + 10 \sqrt{2}$ D、若 $△ P F_{1} F_{2}$ 内切圆的圆心为M ，则M点的纵坐标为3

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三、填空题

13. 点 $A (3 ， - 2)$ 到直线 $l ： k x - y + 2 = 0$ 的最大距离为.

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14. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点F是中心在原点的椭圆C的一个焦点，Q是椭圆C的另一个焦点，椭圆C的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， P为椭圆C上的一点，且 $∠ F P Q = 60 °$ ，则 $△ F P Q$ 的面积为.

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15. 已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长均为4， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = ∠ B A D = 60 °$ ， E为棱 $A A_{1}$ 的中点，则 $| \vec{E C} | =$ .

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16. 历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和.后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，现有与斐波那契数列性质类似的数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 2$ ， $a_{4} = 10$ ，且 $a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n}$ （ $n \in N^{*}$ ），记数列 ${a_{n}^{2}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{p} = 2852$ ，则 $p =$ .

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四、解答题

17. 已知圆C的圆心C在直线 $y = 3 x + 2$ 上，且圆C过 $A (0 ， 0)$ ， $B (2 ， 2)$ 两点，

(1)、求圆C的标准方程；

(2)、过点 $(3 ， 0)$ 作圆C的切线l ，求切线l的方程.

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18. 如图，平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{2} A D = 4$ ， $∠ A B C = 135 °$ ， E为边AB的中点，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起，使A到 $A^{'}$ ，得到四棱锥 $A^{'} - B C D E$ ，且 $A^{'} E ⊥ B C$ .

(1)、求证： $A^{'} E ⊥ E B$ ；

(2)、求直线 $A^{'} D$ 与平面 $A^{'} B C$ 所成角的正弦值.

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19. 已知抛物线 $C ： x^{2} = - 2 p y (p > 0)$ 的准线方程为 $y = 3$ ，过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线交于不同两点A ， B ，且 $| A B | = 30$ .

(1)、求抛物线C的方程及焦点F的坐标：

(2)、求 $△ O A B$ 的面积（O为坐标原点）.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，等比数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，且 $S_{n} = \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{2} n$ ， $a_{2} + a_{6} = b_{3}$ ， $a_{4} \cdot a_{8} = b_{5}$ ， $b_{n} > 0$ .

(1)、求 $a_{n}$ ， $T_{n}$ ；

(2)、若数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = a_{n} T_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $M_{n}$ .

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21. 如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，四边形 $A D D_{1} A_{1}$ 和四边形 $C D D_{1} C_{1}$ 都是矩形， $D D_{1} = 6$ ，四边形 $A B C D$ 是一个边长为4的菱形， $A C = 4 \sqrt{3}$ .

(1)、求证： $A C ⊥$ 平面 $B D D_{1}$ ；

(2)、求平面 $B A D_{1}$ 与平面 $A D D_{1} A_{1}$ 夹角的余弦值.

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22. 已知动点Q到点 $E (- \sqrt{5} ， 0)$ 的距离与到直线 $l_{1} ： x = - \frac{9 \sqrt{5}}{5}$ 的距离之比为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ， Q点的轨迹为曲线C.

(1)、求曲线C的方程；

(2)、已知 $M (- 3 ， 0)$ ， $N (3 ， 0)$ ， A ， B为曲线C上异于M ， N的两点，直线 $A M$ ， $B N$ 相交于点T ，点T在直线 $x = 4$ 上，问直线 $A B$ 是否过定点？若过定点，请求出定点坐标：若不过定点，请说明理由.

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