2023年春季北师版数学九年级下册第二章《二次函数》单元检测A

试卷更新日期：2022-11-17 类型：单元试卷

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 关于二次函数 $y = {(x - 1)}^{2} + 5$ ，下列说法正确的是（）

A、函数图象的开口向下 B、函数图象的顶点坐标是 $(- 1 ， 5)$ C、该函数有最大值，是大值是5 D、当 $x > 1$ 时，y随x的增大而增大

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2. 抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + x + 1$ 经平移后，不可能得到的抛物线是（）

A、 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + x$ B、 $y = - \frac{1}{2} x^{2} - 4$ C、 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 2021 x - 2022$ D、 $y = - x^{2} + x + 1$

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3. 已知点 $(- 3 ， y_{1}) ， (- 1 ， y_{2}) ， (1 ， y_{3})$ 在下列某一函数图象上，且 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ 那么这个函数是（）

A、 $y = 3 x$ B、 $y = 3 x^{2}$ C、 $y = \frac{3}{x}$ D、 $y = - \frac{3}{x}$

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4. 若二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，则一次函数 $y = a x + b$ 与反比例函数 $y = - \frac{c}{x}$ 在同一坐标系内的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分函数图象如图所示，则一次函数 $y = a x + b^{2} - 4 a c$ 与反比例函数 $y = \frac{4 a + 2 b + c}{x}$ 在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图是二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象，其对称轴为直线 $x = - 1$ ，且过点 $(0 ， 1)$ ．有以下四个结论：① $a b c > 0$ ， ② $a - b + c > 1$ ， ③ $3 a + c < 0$ ， ④若顶点坐标为 $(- 1 ， 2)$ ，当 $m \leq x \leq 1$ 时，y有最大值为2、最小值为 $- 2$ ，此时m的取值范围是 $- 3 \leq m \leq - 1$ ．其中正确结论的个数是（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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7. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x - c (a \neq 0)$ ，其中 $b > 0$ 、 $c > 0$ ，则该函数的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 点A (m-1，y₁)，B(m，y₂)都在二次函数y=(x-1)²+n的图象上。若y₁<y₂ ，则m的取值范围为（）

A、m>2 B、m> $\frac{3}{2}$ C、m<1 D、 $\frac{3}{2}$ <m<2

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9. 已知点 A（a，2）、B（b，2）、C（c，7）都在抛物线 $y = {(x - 1)}^{2} - 2$ 上，点A在点B左侧，下列选项正确的是（）

A、若 $c < 0$ ，则 $a < c < b$ B、若 $c < 0$ ，则 $a < b < c$ C、若 $c > 0$ ，则 $a < c < b$ D、若 $c > 0$ ，则 $a < b < c$

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10. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x - 2$ 的对称轴是 $x = - 1$ ，直线 $l ∥ x$ 轴，且交抛物线于点 $P (x_{1} ， y_{1}) ， Q (x_{2} ， y_{2})$ ，下列结论错误的是（）

A、 $b^{2} > - 8 a$ B、若实数 $m \neq - 1$ ，则 $a - b < a m^{2} + b m$ C、 $3 a - 2 > 0$ D、当 $y > - 2$ 时， $x_{1} \cdot x_{2} < 0$

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 在函数 $y = {(x - 1)}^{2}$ 中，当x＞1时，y随x的增大而 .（填“增大”或“减小”）

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12. 若二次函数 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为．

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13. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降米，水面宽8米.

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14. 在平面直角坐标系中，将抛物线 $y = x^{2} + 2 x - 1$ 先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是.

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15. 平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $P (m ， 3 n^{2} - 9)$ ，且实数m，n满足 $m - n^{2} + 4 = 0$ ，则点P到原点O的距离的最小值为.

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16. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的函数图象经过点（1，2），且与 $x$ 轴交点的横坐标分别为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，其中－1＜ $x_{1}$ ＜0，1＜ $x_{2}$ ＜2，下列结论：① $a b c > 0$ ；② $2 a + b < 0$ ；③ $4 a - 2 b + c > 0$ ；④当 $x = m (1 < m < 2)$ 时， $a m^{2} + b m < 2 - c$ ；⑤ $b > 1$ ，其中正确的有 .（填写正确的序号）

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三、解答题（共8题，共72分）

17. 某超市购进一批水果，成本为8元/ $k g$ ，根据市场调研发现，这种水果在未来10天的售价 $m$ （元/ $k g$ ）与时间第 $x$ 天之间满足函数关系式 $m = \frac{1}{2} x + 18$ （ $1 \leq x \leq 10$ ， $x$ 为整数），又通过分析销售情况，发现每天销售量 $y (k g)$ 与时间第 $x$ 天之间满足一次函数关系，下表是其中的三组对应值．
时间第 $x$ 天
…
2
5
9
…
销售量 $y / k g$
…
33
30
26
…

(1)、求 $y$ 与 $x$ 的函数解析式；

(2)、在这10天中，哪一天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为多少元？

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18. 如图，已知二次函数 $y = a x^{2} + 2 a x - 3$ 的图象与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，其顶点为D，直线DC的函数解析式为 $y = k x - 3$ ．已知 $s i n ∠ O B C = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(1)、求二次函数的函数解析式和直线DC的函数解析式；

(2)、连接BD，求 $△ B C D$ 的面积．

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19. $2022$ 北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度 $O A$ 为4米，以起跳点正下方跳台底端 $O$ 为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点 $B$ 的坐标为 $(4 ， 12)$ ，着陆坡顶端 $C$ 与落地点 $D$ 的距离为2.5米，若斜坡 $C D$ 的坡度 $i = 3 ： 4$ （即 $\frac{C E}{D E} = \frac{3}{4}$ ）．求：

(1)、点 $A$ 的坐标；

(2)、该抛物线的函数表达式；

(3)、起跳点 $A$ 与着陆坡顶端 $C$ 之间的水平距离 $O C$ 的长．（精确到0.1米）（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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20. 某校为配合疫情防控需要，每星期组织学生进行核酸抽样检测；防疫部门为了解学生错峰进入操场进行核酸检测情况，调查了某天上午学生进入操场的累计人数y（单位：人）与时间x（单位：分钟）的变化情况，发现其变化规律符合函数关系式： $y = {\begin{array}{l} a x^{2} + b x + c (0 \leq x \leq 8) \\ 640 ， (8 < x \leq 10) \end{array} ，$ 数据如下表．
时间x（分钟）
0
1
2
3
…
8
$8 < x ⩽ 10$
累计人数y（人）
0
150
280
390
…
640
640

(1)、求a，b，c的值；

(2)、如果学生一进入操场就开始排队进行核酸检测，检测点有4个，每个检测点每分钟检测5人，求排队人数的最大值（排队人数-累计人数-已检测人数）；

(3)、在（2）的条件下，全部学生都完成核酸检测需要多少时间？如果要在不超过20分钟让全部学生完成核酸检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？

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21. 如图，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 经过点 $B (4 ， 0)$ 和点 $C (0 ， 2)$ ，与 $x$ 轴的另一个交点为 $A$ ，连接 $A C$ 、 $B C$ ．

(1)、求抛物线的解析式及点 $A$ 的坐标；

(2)、如图1，若点 $D$ 是线段 $A C$ 的中点，连接 $B D$ ，在 $y$ 轴上是否存在点 $E$ ，使得 $△ B D E$ 是以 $B D$ 为斜边的直角三角形？若存在，请求出点 $E$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、如图2，点 $P$ 是第一象限内抛物线上的动点，过点 $P$ 作 $P Q ∥ y$ 轴，分别交 $B C$ 、 $x$ 轴于点 $M$ 、 $N$ ，当 $△ P M C$ 中有某个角的度数等于 $∠ O B C$ 度数的2倍时，请求出满足条件的点 $P$ 的横坐标．

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22. 如图，抛物线y＝ax²＋bx＋c交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于点C(0，3)，顶点D的横坐标为1．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB＋∠ACB＝180°．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)、过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．

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23. 已知抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与x轴相交于点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ ，与y轴相交于点C.

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、如图1，将直线BC间上平移，得到过原点O的直线MN.点D是直线MN上任意一点.
①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，关x轴相交于点E，求线段OE的长；

②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由.

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24. 如图，已知抛物线： $y = - 2 x^{2} + b x + c$ 与x轴交于点A， $B (2 ， 0)$ （A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线 $x = \frac{1}{2}$ ，P是第一象限内抛物线上的任一点．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若点D为线段 $O C$ 的中点，则 $△ P O D$ 能否是等边三角形？请说明理由；

(3)、过点P作x轴的垂线与线段 $B C$ 交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与 $△ B M H$ 相似，求点P的坐标．

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时间x（分钟）	0	1	2	3	…	8	$8 < x ⩽ 10$
累计人数y（人）	0	150	280	390	…	640	640

时间第 $x$ 天	…	2	5	9	…
销售量 $y / k g$	…	33	30	26	…

2023年春季北师版数学九年级下册第二章 《二次函数》单元检测A

一、单选题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共18分）

三、解答题（共8题，共72分）

2023年春季北师版数学九年级下册第二章《二次函数》单元检测A