陕西省渭南市大荔县2023届高三上学期数学一模试卷

试卷更新日期：2022-11-16 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | - 1 \leq x < 1} ， B = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，则集合 $(∁_{U} A) ∩ B =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${- 1 ， 0}$ C、 ${- 2 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 2}$

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2. 已知 $a ， b$ 为实数，则“ $a^{2} > b^{2}$ ”是“ $a^{3} > b^{3} > 0$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知函数 $y = f (x)$ 的部分图象如图所示，其中 $A (x_{1} ， f (x_{1})) ， B (x_{2} ， f (x_{2})) ， C (x_{3} ， f (x_{3}))$ 为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（）

A、 $f^{'} (x_{1}) > f^{'} (x_{2}) > f^{'} (x_{3})$ B、 $f^{'} (x_{3}) > f^{'} (x_{2}) > f^{'} (x_{1})$ C、 $f^{'} (x_{3}) > f^{'} (x_{1}) > f^{'} (x_{2})$ D、 $f^{'} (x_{1}) > f^{'} (x_{3}) > f^{'} (x_{2})$

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4. 设 $a = 4^{0.7}$ ， $b = {(\frac{1}{4})}^{- 0.8}$ ， $c = 0 . 8^{0.7}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $b < c < a$ B、 $c < a < b$ C、 $a < b < c$ D、 $c < b < a$

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5. 下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）

A、 $y = \log_{3} x$ B、 $y = x^{3} + x$ C、 $y = 3^{x}$ D、 $y = - \frac{1}{x}$

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6. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 12 \leq 0}$ ， $B = {x | 2 m - 1 < x < m + 1}$ .且 $A ∩ B = B$ ，则实数m的取值范围为（）

A、[-1，2) B、[-1，3] C、[-2，+∞ $)$ D、[-1，+∞ $)$

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7. 下列说法中正确的是（）

A、“ $x > 5$ ”是“ $x > 3$ ”的必要不充分条件 B、命题“对 $\forall x \in R$ ，恒有 $x^{2} + 1 > 0$ ”的否定是“ $\exists x \in R$ ，使得 $x^{2} + 1 < 0$ ” C、在同一直角坐标系中，函数 $y = 2^{x}$ 与 $y = l g x$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称 D、若幂函数 $f (x) = m x^{α}$ 过点 $(\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，则 $m + α = \frac{3}{2}$

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8. 函数 $f (x) = x^{2} - a \ln x (a \in R)$ 在 $x = 1$ 处的切线与直线 $y = - 6 x + 10$ 平行，则 $a$ 的值为（）

A、8 B、-8 C、7 D、-7

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9. 已知函数 $y = f (x)$ 的大致图像如图所示，则函数 $y = f (x)$ 的解析式应为（）

A、 $f (x) = e^{x} l n x$ B、 $f (x) = e^{- x} l n | x |$ C、 $f (x) = e^{x} l n | x |$ D、 $f (x) = e^{| x |} l n | x |$

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10. 设函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + 4 x$ 的极小值为－8，其导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象过点（－2，0），如图所示，则 $f (x)$ ＝（）

A、 $- \frac{2}{3} x^{3} - x^{2} + 4 x$ B、 $- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x$ C、 $- x^{3} + 4 x$ D、 $- 2 x^{3} + x^{2} + 4 x$

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11. 中国的 $5 G$ 技术领先世界， $5 G$ 技术的数学原理之一便是著名的香农公式： $C = W l o g_{2} (1 + \frac{S}{N})$ .它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度 $C$ 取决于信道带宽 $W$ ､信道内信号的平均功率 $S$ ､信道内部的高斯噪声功率 $N$ 的大小.其中 $\frac{S}{N}$ 叫做信噪比，当信噪比较大时，公式中真数中的 $1$ 可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽 $W$ ，而将信噪比 $\frac{S}{N}$ 从 $1000$ 提升至6000，则 $C$ 的增长率为（）（ $l g 2 \approx 0.3010$ ， $l g 3 \approx 0.4771$ ）

A、10% B、16% C、26% D、33%

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12. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a l n x$ 有两个零点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2 e})$ B、 $(\frac{1}{2 e} ， + \infty)$ C、 $(0 ， 2 e)$ D、 $(2 e ， + \infty)$

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二、填空题

13. 设三元集合 ${a ， \frac{b}{a} ， 1} = {a^{2} ， a + b ， 0}$ ，则 $a^{2022} + b^{2022} =$ .

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14. 给出下列命题：
①原命题为真，它的否命题为假；

②原命题为真，它的逆命题不一定为真；

③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真；

④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真；

⑤“若 $m > 1$ ，则 $m x^{2} - 2 (m + 1) x + m + 3 > 0$ 的解集为 $R$ ”的逆命题．

其中真命题是．（把你认为正确命题的序号都填在横线上）

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | x - 1 | ， x \in (0 ， 2] \\ \min {| x - 1 | ， | x - 3 |} ， x \in (2 ， 4] \\ \min {| x - 3 | ， | x - 5 |} ， x \in (4 ， + \infty) \end{array}$ ，其中 $\min {a ， b}$ 表示 $a$ ， $b$ 中较小的数.若 $f (x) = a$ 有且只有一个实根，则实数 $a$ 的取值范围是.

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x} + a (x - \ln x)$ （ $e$ 为自然对数的底数）.若函数 $f (x)$ 在 $x \in (\frac{1}{2} ， 2)$ 上有三个不同的极值点，则实数 $a$ 的取值范围为 .

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三、解答题

17. 计算下列各式的值.

(1)、 $27^{\frac{2}{3}} + {(\frac{1}{3})}^{- 2} - {(3 - π)}^{0} + {(2^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{1}{2}})}^{6}$ ；

(2)、 ${log}_{2} 8 - (lg 4 + lg 25) - {log}_{5} 8 \cdot {log}_{2} 5 + 7^{{log}_{7} 2}$ .

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18. 已知集合 $A = {x | (x - a) (x + a + 1) \leq 0}$ ， $B = {x | x \leq 3 或 x \geq 6}$ .

(1)、当 $a = 4$ 时，求 $A ∩ B$ ；

(2)、当 $a > 0$ 时，若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分条件，求实数a的取值范围.

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19. 已知 $f (x) = l o g_{a} (a x - 2)$ （其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）．

(1)、若 $a = 2$ ， $f (x) < 2$ ，求实数 $x$ 的取值范围；

(2)、若 $x \in [4 ， 6]$ ， $f (x)$ 的最大值大于1，求 $a$ 的取值范围．

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20. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{\sqrt{3}}{2} t \\ y = 1 + \frac{1}{2} t \end{array}$ ( $t$ 为参数)，在以 $O$ 为极点， $x$ 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 sin θ - 2 cos θ$

(1)、求直线 $l$ 的普通方程与曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、若直线 $l$ 与 $y$ 轴的交点为 $P$ ，直线 $l$ 与曲线 $C$ 的交点为 $A ， B$ ，求 $| P A | \cdot | P B |$ 的值.

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21. 设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C（单位：万元）与生产量x（单位：百件）间的函数关系是 $C (x) = 10000 + 20 x$ ；销售收入S（单位：万元）与生产量x间的函数关系是 $S (x) = {\begin{cases} - \frac{1}{30} x^{3} + 3 x^{2} + 290 x ， 0 < x < 120 \\ 25400 ， x \geq 120 \end{cases}$ ．

(1)、把商品的利润表示为生产量x的函数；

(2)、为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？

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22. 已知函数 $f (x) = - 2 a^{2} \ln x + \frac{1}{2} x^{2} + a x (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、当 $a <0$ 时，求函数 $f (x)$ 在区间 $[1 ， e]$ 的最小值.

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