广西普通高中2023届高三理数摸底测试试卷

试卷更新日期：2022-11-16 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | | x - 1 | < 2, x \in R}$ ，集合 $N = {- 1, 0, 1, 2, 3}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${0, 1, 2}$ B、 ${- 1, 0, 1, 2}$ C、 ${- 1, 0, 2, 3}$ D、 ${0, 1, 2, 3}$

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2. 沙糖桔网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（）

A、月收入的最大值为90万元，最小值为30万元 B、这一年的总利润超过400万元 C、这12个月利润的中位数与众数均为30 D、7月份的利润最大

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3. 已知复数 $z = \frac{2 - i}{1 + i}$ （其中 $i$ 为虚数单位），则 $| z | =$ （）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$

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4. “ $- 3 < m < 3$ ”是“方程 $\frac{x^{2}}{m + 3} + \frac{y^{2}}{3 - m} = 1$ 表示椭圆”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 若将函数 $f (x) = \sin 2 x - \sqrt{3} \cos 2 x$ 的图象向右平移 $m (m > 0)$ 个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则 $m$ 的最小值是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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6. 将3个1和4个0随机排成一行，则3个1任意两个1都不相邻的概率为（）

A、 $\frac{1}{14}$ B、 $\frac{2}{21}$ C、 $\frac{2}{7}$ D、 $\frac{4}{35}$

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7. 已知 $s i n (α - \frac{π}{3}) = \frac{2}{3}$ ，则 $c o s (2 α + \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $- \frac{4 \sqrt{5}}{9}$ D、 $\frac{4 \sqrt{5}}{9}$

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8. 已知函数 $f (x) = \ln x + a x$ 存在最大值0，则 $a$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{1}{e}$ C、1 D、 $e$

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9. 生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量C会按确定的比率衰减（称为衰减率），C与死亡年数t之间的函数关系式为 $C = {0.5}^{\frac{t}{k}}$ （k为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2022年某遗址文物出土时碳14的残余量约为原始量的85%，则可推断该文物属于（）
参考数据： $\log_{2} 0.85 \approx - 0.23$ ；参考时间轴：

A、战国 B、汉 C、唐 D、宋

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10. 设球 $O$ 与圆锥 $S O_{1}$ 的体积分别为 $V_{1}$ ， $V_{2}$ ，若球 $O$ 的表面积与圆锥 $S O_{1}$ 的侧面积相等，且圆锥 $S O_{1}$ 的轴截面为正三角形，则 $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ 的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

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11. 满足不等式 $(x - 1^{2}) (x - 2^{2}) (x - 3^{2}) \cdot \cdot \cdot (x - 200^{2}) \leq 0$ 的整数解的个数为（）

A、 $1500$ B、 $5100$ C、 $20100$ D、 $20200$

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12. 已知 $a = 6^{8} ， b = 7^{7} ， c = 8^{6}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $b > c > a$ B、 $c > b > a$ C、 $a > c > b$ D、 $a > b > c$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3} ， 3)$ ， $\vec{b} = (k ， \sqrt{3})$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，则 $k =$ .

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14. 直线 $y = 2 x + 1$ 与圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 = 0$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点，则 $| M N | =$ .

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15. 如图所示，已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，双曲线 $C$ 的右支上一点 $A$ ，它关于原点 $O$ 的对称点为 $B$ ，满足 $∠ A F B = 120 °$ ，且 $| B F | = 3 | A F |$ ，则双曲线 $C$ 的离心率是.

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16. 已知在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a c o s B = b \cos A$ ， $M$ 是 $B C$ 的中点，若 $A M = 4$ ，则 $A C + \sqrt{2} A B$ 的最大值为.

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三、解答题

17. 某学校共有1000名学生参加数学知识竞赛，其中男生200人.为了了解该校学生在数学知识竞赛中的情况，采取按性别分层抽样，随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在450~950分之间.将分数不低于750分的学生称为“高分选手”.根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示.

参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

$P (K^{2} > k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

(1)、求

a

的值，并估计该校学生分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、若样本中属于“高分选手”的男生有10人，完成下列

2 \times 2

列联表，并判断是否有99.5%的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关.

	属于“高分选手”	不属于“高分选手”	合计
男生
女生
合计

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18. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $5 a_{n} = 4 S_{n} + 1$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = a_{n} \cdot \log_{5} a_{n + 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 如图，多面体 $A B C D E F$ 中， $A B C D$ 是菱形， $∠ A B C = 60 °$ ， $F A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E D ∥ F A$ ，且 $A B = F A = 2 E D = 2$

(1)、求证：平面 $B D E ⊥$ 平面 $F A C$ ；

(2)、求二面角 $B - F C - E$ 的正弦值.

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20. 如图，已知点 $P (2 ， 2)$ 是焦点为 $F$ 的抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点， $A$ ， $B$ 是抛物线 $C$ 上异于 $P$ 的两点，且直线 $P A$ ， $P B$ 的倾斜角互补，若直线 $P A$ 的斜率为 $k (k > 1)$ .

(1)、证明：直线 $A B$ 的斜率为定值；

(2)、在 $△ A B F$ 中，记 $∠ F A B = α$ ， $∠ F B A = β$ ，求 $\sin α - \sin β$ 最大值.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a (x - 1)$ 有两个零点.

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、设 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是 $f (x)$ 的两个零点，证明： $x_{1} \cdot x_{2} < x_{1} + x_{2}$ .

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - 2 + \frac{1}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{matrix}$ ，（ $t$ 为参数），曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 3 \cos α \\ y = 3 + 3 \sin α \end{matrix}$ （ $α$ 为参数），以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求曲线 $C$ 的极坐标方程；

(2)、已知点 $P$ 的极坐标为 $(2 ， π)$ ， $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，求 ${(\sqrt{| P A |} + \sqrt{| P B |})}^{2} .$

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | + | x + 3 |$ ．

(1)、解不等式 $f (x) \leq 6$ ；

(2)、设 $x \in R$ 时，函数 $f (x)$ 的最小值为M．若实数a，b，c满足 $a + 2 b + 3 c = M$ ，求 $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ 的最小值．

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