2023年春季北师版数学九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》单元检测B

试卷更新日期：2022-11-16 类型：单元试卷

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 计算 $\sqrt{8} + | - 2 | \times c o s 45 °$ 的结果，正确的是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2} + \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{2} + 2$

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2. 如图是一架人字梯，已知 $A B = A C = 2$ 米，AC与地面BC的夹角为 $α$ ，则两梯脚之间的距离BC为（）

A、 $4 \cos α$ 米 B、 $4 \sin α$ 米 C、 $4 \tan α$ 米 D、 $\frac{4}{\cos α}$ 米

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3. 如图，某地修建一座高 $B C = 5 m$ 的天桥，已知天桥斜面 $A B$ 的坡度为 $1 ： \sqrt{3}$ ，则斜坡 $A B$ 的长度为（）

A、 $10 m$ B、 $10 \sqrt{3} m$ C、 $5 m$ D、 $5 \sqrt{3} m$

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4. 如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠ABC＝（　　）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{26}}{26}$ C、 $\frac{\sqrt{26}}{13}$ D、 $\frac{\sqrt{13}}{13}$

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5. 如图，直线MN是矩形ABCD的一条对称轴，点E在AD边E上，将 $△ B A E$ 沿BE折叠，使点A的对应点F落在直线MN上，若 $A B = 4$ ，则BE的长是（）

A、5 B、 $5 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$

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6. 如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC， $∠ A B C = 27 °$ ， BC＝44cm，则高AD约为（）（参考数据： $s i n 27 ° \approx 0.45$ ， $c o s 27 ° \approx 0.89$ ， $t a n 27 ° \approx 0.51$ ）

A、9.90cm B、11.22cm C、19.58cm D、22.44cm

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7. 如图，矩形AOBC的顶点A、B在坐标轴上，点C的坐标是(﹣10，8)，点D在AC上，将 $△$ BCD沿BD翻折，点C恰好落在OA边上点E处，则tan∠DBE等于（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 如图， $△ A B C$ 底边 $B C$ 上的高为 $h_{1}$ ， $△ P Q R$ 底边 $Q R$ 上的高为 $h_{2}$ ，则有（）

A、 $h_{1} = h_{2}$ B、 $h_{1} < h_{2}$ C、 $h_{1} > h_{2}$ D、以上都有可能

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9. 如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为 $α$ 时，梯子顶端靠在墙面上的点 $A$ 处，底端落在水平地面的点 $B$ 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为 $β$ ，已知 $\sin α = \cos β = \frac{3}{5}$ ，则梯子顶端上升了（）

A、1米 B、1.5米 C、2米 D、2.5米

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10. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $\cos B = \frac{1}{4}$ ，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使 $∠ A D E = ∠ B$ ，连结CE，则 $\frac{C E}{A D}$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{2}$ D、2

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，有一个锐角为 $60 °$ ， $A B = 6$ ，若点 $P$ 在直线 $A B$ 上（不与点 $A$ ， $B$ 重合），且 $∠ P C B = 30 °$ ，则 $A P$ 的长为．

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12. 如图，测量船以20海里每小时的速度沿正东方向航行并对某海岛进行测量，测量船在A处测得海岛上观测点D位于北偏东15°方向上，观测点C位于北偏东45°方向上，航行半个小时到达B点，这时测得海岛上观测点C位于北偏西45°方向上，若CD与AB平行，则CD＝海里（计算结果不取近似值）．

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13. 喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟.丹丹在汩罗江国际龙舟竞渡中心广场点 $P$ 处观看200米直道竞速赛.如图所示，赛道 $A B$ 为东西方向，赛道起点 $A$ 位于点 $P$ 的北偏西 $30 °$ 方向上，终点 $B$ 位于点 $P$ 的北偏东 $60 °$ 方向上， $A B = 200$ 米，则点 $P$ 到赛道 $A B$ 的距离约为米（结果保留整数，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）.

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14. 如图，沿 $A B$ 方向架桥修路，为加快施工进度，在直线 $A B$ 上湖的另一边的 $D$ 处同时施工.取 $∠ A B C = 150 °$ ， $B C = 1600 m$ ， $∠ B C D = 105 °$ ，则 $C$ ， $D$ 两点的距离是 $m$ .

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15. 在直角 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $\frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan B} = \frac{5}{2}$ ， $∠ C$ 的角平分线交 $A B$ 于点 $D$ ，且 $C D = 2 \sqrt{2}$ ，斜边 $A B$ 的值是.

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16. 如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若 $\tan ∠ A D B = \frac{1}{2}$ ，则tan∠DEC的值是.

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三、解答题（共9题，共72分）

17. 计算：tan30°+|1﹣ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ |+（π﹣ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ）⁰﹣（ $\frac{1}{3}$ ）^﹣¹+ $\sqrt{16}$ .

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18. 计算： $\sqrt{12} + {(3.14 - π)}^{0} - 3 \tan 60 ° + | 1 - \sqrt{3} | + {(- 2)}^{- 2}$ .

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19. “五一”节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆 $A B$ ，用绳子拉直 $A D$ 后系在树干 $E F$ 上的点 $E$ 处，使得 $A$ ， $D$ ， $E$ 在一条直线上，通过调节点 $E$ 的高度可控制“天幕”的开合， $A C = A D = 2$ m， $B F = 3$ m．

（参考数据： $\sin 65 ° \approx 0.90$ ， $\cos 65 ° \approx 0.42$ ， $\tan 65 ° \approx 2.14$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ）

(1)、天晴时打开“天幕”，若 $∠ α = 65 °$ ，求遮阳宽度 $C D$ （结果精确到0.1m）；

(2)、下雨时收拢“天幕”， $∠ α$ 从65°减少到45°，求点 $E$ 下降的高度（结果精确到0.1m）．

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20. 为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数.某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造.如图，AB表示该小区一段长为 $20 m$ 的斜坡，坡角 $∠ B A D = 30 ° ， B D ⊥ A D$ 于点D.为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为 $15 °$ .

(1)、求该斜坡的高度BD；

(2)、求斜坡新起点C与原起点A之间的距离.（假设图中C，A，D三点共线）

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21. 图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知 $A B ∥ C D ∥ F G$ ， A，D，H，G四点在同一直线上，测得 $∠ F E C = ∠ A = 72.9 ° ， A D = 1.6 m ， E F = 6.2 m$ ．（结果保留小数点后一位）

(1)、求证：四边形 $D E F G$ 为平行四边形；

(2)、求雕塑的高（即点G到 $A B$ 的距离）．
（参考数据： $s i n 72.9 ° \approx 0.96 ， c o s 72.9 ° \approx 0.29 ， t a n 72.9 ° \approx 3.25$ ）

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22. 每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．

(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3)

(1)、若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长．

(2)、如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．

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23. 某种落地灯如图1所示， $A B$ 为立杆，其高为 $84 cm$ ； $B C$ 为支杆，它可绕点 $B$ 旋转，其中 $B C$ 长为 $54 cm$ ； $D E$ 为悬杆，滑动悬杆可调节 $C D$ 的长度.支杆 $B C$ 与悬杆 $D E$ 之间的夹角 $∠ B C D$ 为 $60 °$ .

(1)、如图2，当支杆 $B C$ 与地面垂直，且 $C D$ 的长为 $50 cm$ 时，求灯泡悬挂点 $D$ 距离地面的高度；

(2)、在图2所示的状态下，将支杆 $B C$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $20 °$ ，同时调节 $C D$ 的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点 $D$ 到地面的距离为 $90 cm$ ，求 $C D$ 的长.（结果精确到 $1 cm$ ，参考数据： $\sin 20 ° \approx 0.34$ ， $\cos 20 ° \approx 0.94$ ， $\tan 20 ° \approx 0.36$ ， $\sin 40 ° \approx 0.64$ ， $\cos 40 ° \approx 0.77$ ， $\tan 40 ° \approx 0.84$ ）

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24. 一酒精消毒瓶如图1， $A B$ 为喷嘴， $Δ B C D$ 为按压柄， $C E$ 为伸缩连杆， $B E$ 和 $E F$ 为导管，其示意图如图2， $∠ D B E = ∠ B E F = 108 °$ ， $B D = 6 c m$ ， $B E = 4 c m$ ．当按压柄 $Δ B C D$ 按压到底时， $B D$ 转动到 $B D'$ ，此时 $B D' / / E F$ （如图3）．
（参考数据： $s i n 36 ° \approx 0.59$ ， $c o s 36 ° \approx 0.81$ ， $t a n 36 ° \approx 0.73$ ， $s i n 72 ° \approx 0.95$ ， $c o s 72 ° \approx 0.31$ ， $t a n 72 ° \approx 3.08$ ）

(1)、求点 $D$ 转动到点 $D'$ 的路径长；

(2)、求点 $D$ 到直线 $E F$ 的距离（结果精确到 $0.1 c m$ ）．

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25. 图①是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图②是小明锻炼时上半身由ON位置运动到与地面垂直的OM位置时的示意图．已知AC=0.66米，BD=0.26米，α=20°．（参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）

(1)、求AB的长（精确到0.01米）；

(2)、若测得ON=0.8米，试计算小明头顶由N点运动到M点的路径 $\overset{⌢}{M N}$ 的长度．（结果保留π）

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2023年春季北师版数学九年级下册第一章 《直角三角形的边角关系》单元检测B

一、单选题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共18分）

三、解答题（共9题，共72分）

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