四川省绵阳市2023届高三上学期理数第一次诊断性考试试卷

试卷更新日期：2022-11-15 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in Z | - 1 \leq x \leq 3}$ ， $B = {x | x^{2} \leq 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $[- 1 ， \sqrt{2}]$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ D、 $[- \sqrt{2} ， 3]$

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2. 若 $a > b > 0$ ，则一定有（）

A、 $c o s a < c o s b$ B、 $2^{a} - 2^{b} < 0$ C、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ D、 $a^{3} > b^{3}$

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3. 若命题“ $\forall x \in R$ ， $m \geq s i n x + c o s x$ ”是真命题，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \geq \sqrt{2}$ B、 $m \geq 2$ C、 $m \leq - \sqrt{2}$ D、 $m \leq - 2$

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4. 设 $a = l o g_{9} 4$ ，则 $3^{a}$ 的值是（）

A、1 B、2 C、4 D、9

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5. 在 $△ A B C$ 中，点 $M$ 为边 $A B$ 上一点， $2 \vec{A M} = \vec{M B}$ ，若 $3 \vec{C M} = λ \vec{C A} + μ \vec{C B}$ ，则 $μ =$ （）

A、3 B、2 C、1 D、 $- 1$

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6. 已知 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{19} = 57$ ，则 $3 a_{5} - a_{1} - a_{4} =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、6

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7. 某地锰矿石原有储量为 $a$ 万吨，计划每年的开采量为本年年初储量的 $m$ （ $0 < m < 1$ ，且 $m$ 为常数）倍，那么第 $n$ （ $n \in N^{*}$ ）年在开采完成后剩余储量为 $a {(1 - m)}^{n}$ ，并按该计划方案使用10年时间开采到原有储量的一半．若开采到剩余储量为原有储量的70%时，则需开采约（）年．（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.4$ ）

A、4 B、5 C、6 D、8

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8. 若函数 $y = c o s (ω x + \frac{π}{6})$ （ $ω > 0$ ）在区间 $(- \frac{π}{2} ， 0)$ 上恰有唯一极值点，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{1}{3} ， \frac{7}{6}]$ B、 $(\frac{1}{3} ， \frac{7}{6}]$ C、 $(\frac{1}{3} ， \frac{7}{3}]$ D、 $(\frac{2}{3} ， \frac{7}{3})$

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9. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x - \sqrt{x} ， 0 \leq x \leq 1 ， \\ 2 f (x + 1) ， - 2 \leq x < 0 \end{array}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知 $(t a n 2 α - t a n α) \cdot c o s 2 α = 2$ ，则 $t a n α =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $- 2$ D、 $\frac{1}{2}$

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11. 已知直线 $l$ ： $x + m y + n = 0$ 既是曲线 $y = l n x$ 的切线，又是曲线 $y = e^{x - 2}$ 的切线，则 $m + n =$ （）

A、0 B、 $- 2$ C、0或 $e$ D、 $- 2$ 或 $- e$

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12. 若函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (2 x + 1)$ 偶函数， $f (x - 1)$ 关于点 $(3 ， 3)$ 成中心对称，则下列说法正确的个数为（    ）
① $f (x)$ 的一个周期为2                ② $f (22) = 3$
③ $f (x)$ 的一条对称轴为 $x = 5$             ④ $\sum_{i = 1}^{19} f (i) = 57$

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， 3)$ ， $\vec{b} = (1 ， m)$ ，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，则 $m =$ ．

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14. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，设 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{2} = 2$ ， $a_{4} = 8$ ，则 $S_{5} =$ ．

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15. 某游乐场中的摩天轮作匀速圆周运动，其中心距地面20.5米，半径为20米．假设从小军同学在最低点处登上摩天轮开始计时，第6分钟第一次到达最高点．则第10分钟小军同学离地面的高度为米．

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16. 已知函数c $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 x - 3 ， x \geq a ， \\ x - 2 ， x < a ， \end{array}$ 若存在实数 $m$ ，使得关于 $x$ 的方程 $f (x) = m$ 恰有三个不同的实数根，则 $a$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = c o s x (\sqrt{3} s i n x - c o s x)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、求 $f (x) = - 1$ 在 $[0 ， π]$ 上的解．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{2} = 1$ ， $a_{n + 2} + 4 a_{n} = 5 a_{n + 1}$ （ $n \in N^{*}$ ）．

(1)、证明：数列 ${a_{n + 1} - a_{n}}$ 是等比数列；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式．

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19. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a \cdot c o s b = b (1 + c o s A)$ ．

(1)、证明： $s i n C = s i n 3 B$ ；

(2)、求 $\frac{c}{a}$ 的取值范围．

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - (\frac{k}{2} + 2) x^{2} + 4 k x - \frac{11}{6}$ （ $k \in R$ ）．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $(0 ， 3)$ 上恰有两个零点，求函数 $f (x)$ 在 $[0 ， 3]$ 上的最小值．

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21. 已知函数 $f (x) = 2 e^{x} - x^{2} - a x - 2$ ，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \geq 0$ ．

(1)、求 $a$ 的取值范围；

(2)、求证： $(1 + \frac{2}{2 e - 1}) (1 + \frac{2}{2 e^{2} - 1}) (1 + \frac{2}{2 e^{3} - 1}) \cdot \cdot \cdot (1 + \frac{2}{2 e^{n} - 1}) < 5$ （ $n \in N^{*}$ ）．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 3 + 3 c o s θ ， \\ y = 3 s i n θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数），直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t c o s \frac{π}{3} ， \\ y = 6 + t s i n \frac{π}{3} \end{array}$ （ $t$ 为参数）．

(1)、判断直线 $l$ 和圆 $C$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、设 $P$ 是圆 $C$ 上一动点， $A (4 ， 0)$ ，若点 $P$ 到直线 $l$ 的距离为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求 $\vec{C A} \cdot \vec{C P}$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 2 | + | 2 x + 1 |$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若 $a$ ， $b$ ， $c$ 均为正数，且 $f (a) + f (b) + f (c) = 18$ ，证明： $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ ．

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