河南省豫南九校2022-2023学年高三上学期理数第二次联考试卷

试卷更新日期：2022-11-15 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{4} < 9}$ ， $B = {x | l n (x - 1) \leq 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- \sqrt{3} ， 2]$ B、 $(- \sqrt{3} ， 1)$ C、 $(1 ， \sqrt{3})$ D、 $(\sqrt{3} ， 2]$

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2. 已知 $z + \bar{z} (1 - i) = 2 + i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、16 B、17 C、26 D、28

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3. 已知“ $4 x > x^{2}$ ”是“ $x < m^{2}$ ”的充分不必要条件，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- 2 ， 2)$ B、 $[- 2 ， 2]$ C、 $(- ∞ ， - 2) \cup (2 ， + ∞)$ D、 $(- \infty ， - 2] ∪ [2 ， + \infty)$

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4. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (1 ， 2)$ ，设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，则 $s i n (\frac{3 π}{2} - 2 θ) =$ （）

A、 $- \frac{18}{25}$ B、 $\frac{18}{25}$ C、 $- \frac{7}{25}$ D、 $\frac{7}{25}$

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5. 已知 $f (x) = l n (x + 1) + a x$ ，若 $f^{'} (0) = 2$ ， $f (m) = 2$ ，则 $m \in$ （）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(2 ， 3)$ C、 $(3 ， 4)$ D、 $(4 ， 5)$

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6. 已知 ${a_{n}}$ 是等比数列，若 $a_{3} a_{7} = 3 a_{5}$ ，且 $a_{8} = - 24$ ，则 $a_{10} =$ （）

A、 $96$ B、 $- 96$ C、 $72$ D、 $- 72$

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7. 已知 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分別为a，b，c，若点A到直线BC的距离为 $b c o s C$ ，且 $s i n B = s i n C$ ，则 $A =$ （）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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8. 若 $θ$ 为第二象限角，且 $s i n θ + c o s θ = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $\frac{c o s 2 θ}{1 - 2 s i n^{2} (θ + \frac{π}{4})}$ ＝（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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9. 已知 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2 x}$ ，过原点作曲线 $y = f (x)$ 的切线，则切点的横坐标为（）

A、 $2 \sqrt[3]{2}$ B、 $- 2 \sqrt[3]{2}$ C、 $- \sqrt[3]{2}$ D、 $\sqrt[3]{2}$

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10. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + \frac{π}{4}) (0 < ω < 3)$ 的最小正周期为 $T$ ，若 $f (\frac{T}{4}) = \sqrt{2}$ ，把 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度，得到奇函数 $g (x)$ 的图象，则 $f (- \frac{π}{2}) =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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11. $2022$ 年 $8$ 月 $26$ 日，河南平顶山抽干湖水成功抓捕了两只鳄雀鳝，这一话题迅速冲上热搜榜．与此同时，关于外来物种泛滥的有害性受到了热议．为了研究某池塘里某种植物生长面积 $S$ （单位： $m^{2}$ ）与时间 $t$ （单位：月）之间的关系，通过观察建立了函数模型 $S (t) = k a^{t}$ （ $t \in Z$ ， $k > 0$ ， $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）．已知第一个月该植物的生长面积为 $1 m^{2}$ ，第3个月该植物的生长面积为 $4 m^{2}$ ，给出下列结论：
①第 $6$ 个月该植物的生长面积超过 $30 m^{2}$ ；

②若该植物的生长面积达到 $100 m^{2}$ ，则至少要经过9个月；

③若 $S (t_{1}) \cdot S (t_{3}) = {[S (t_{2})]}^{2}$ ，则 $t_{1} ， t_{2} ， t_{3}$ 成等差数列；

④若 $t_{1} ， t_{2} ， t_{3}$ 成等差数列， $S (t_{1}) = 8$ ， $S (t_{2}) = 16$ ，则 $t_{3} > 6$ ．

其中正确结论的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 杨辉是南宋杰出的数学家，他曾担任过南宋地方行政官员，为政清廉，足迹遍及苏杭一带．杨辉一生留下了大量的著述，他给出了著名的三角垛公式： $1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + \cdot \cdot \cdot + (1 + 2 + 3 + \cdot \cdot \cdot + n)$ $= \frac{1}{6} n (n + 1) (n + 2)$ ．若正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $8 S_{n} + 1 = {(2 a_{n} + 1)}^{2}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的通项公式为 $b_{n} = a_{n}^{2}$ ，则根据三角垛公式，可得数列 ${b_{n}}$ 的前20项和 $T_{20} =$ （）

A、2620 B、2660 C、2870 D、2980

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二、填空题

13. 已知在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $c = 2 a$ ， $B = 12 0^{∘}$ ，若 $\vec{A C} \cdot \vec{B C} = 4$ ，则 $a =$ ．

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14. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项利为 $S_{n}$ ，若 $S_{9}$ ， $a_{5}$ ， 1成等比数列，且 $S_{20} \geq 400$ ，则 ${a_{n}}$ 的公差 $d$ 的取值范围为．

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15. 已知函数 $f (x) = s i n 2 x$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，函数 $g (x) = f (x) + f^{'} (x)$ 的图象关于点 $(x_{0} ， 0)$ 对称，则 $t a n 2 x_{0} =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = (\frac{2}{e^{x + π} + 1} - 1) \cdot s i n (x + \frac{3 π}{2}) - 3$ ，则 $f (x)$ 在 $[- 2 π ， 0]$ 上的最大值与最小值之和为．

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三、解答题

17. 已知命题 $p$ ：函数 $f (x) = x^{2} - 2 k x + 36$ 的图像上的点均位于 $x$ 轴的上方；命题 $q$ ：函数 $g (x) = x^{3} - 3 k x$ 在 $(2 ， + ∞)$ 上单调递增．

(1)、若 $p \land q$ 为真，求实数 $k$ 的取值范围；

(2)、若 $p \lor q$ 是“ $k < m^{2}$ ”的充分不必要条件，求实数 $m$ 的取值范围．

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18. 已知在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $a s i n B = \sqrt{3} b c o s A$ ．

(1)、若 $c = 2 b$ ，求证： $△ A B C$ 为直角三角形；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，且 $a = 6$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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19. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \sqrt{x + 1} ， x \geq 0 \\ - l o g_{2} (- x) ， x < 0 \end{array}$ ．

(1)、若复数 $z = \frac{1 - 2 i}{1 + 3 i}$ （其中 $i$ 为虚数单位），求 $f (f (- | z |))$ 的值；

(2)、过点 $(0 ， \frac{5}{4})$ 的直线 $l$ 与 $f (x)$ 切于点 $(x_{0} ， f (x_{0})) (x_{0} > 0)$ ，求直线 $l$ 的斜率．

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20. 已知函数 $f (x) = s i n^{2} x + s i n x c o s x$ ，向量 $\vec{a} = (s i n x ， - 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， 2 c o s x)$ ．

(1)、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，求 $f (x + \frac{π}{2})$ 的值；

(2)、当 $f (x) = 0$ 时，若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，求 $c o s 2 θ$ ．

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $4 S_{n} = {(a_{n} + 1)}^{2} (n \in N^{*})$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{2^{a_{n}}}{(2^{a_{n}} + 1) (2^{a_{n + 1}} + 1)}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $P_{n}$ ，求证： $P_{n} < \frac{1}{9}$ ；

(3)、设 $c_{n} = {(- 1)}^{n} S_{n + 1}$ ，数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求满足 $T_{n} > 200$ 的最小正整数 $n$ 的值．

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22. 已知函数 $f (x) = 2 l n (x - 1) + k e^{x - 2} (k \in R)$ ．

(1)、若 $x = 2$ 是 $f (x)$ 的一个极值点，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、设 $h (x) = \frac{l n (x - 1)}{e^{x - 2}}$ 的极大值为 $h (x_{0})$ ，且 $f (x)$ 有零点，求证： $k (x_{0} - 1) \geq - \frac{2}{e^{x_{0} - 2}}$ ．

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