河南省信阳市普通高中2022-2023学年高三上学期理数第一次教学质量检测试卷

试卷更新日期：2022-11-15 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x^{2} - x - 2 < 0 ， x \in N^{*}}$ ，集合 $B = {x | y = \sqrt{l o g_{2} x}}$ ，则集合 $A \cap B$ 等于（）

A、1 B、 $[1 ， 2)$ C、 ${1}$ D、 ${x | x \geq 1}$

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2. “ $- 2 < m < 2$ ”是“ $x^{2} - m x + 1 > 0$ 在 $x \in (1 ， + \infty)$ 上恒成立”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知命题“存在 $x \in {x | 1 < x < 3}$ ，使等式 $x^{2} - m x - 1 = 0$ 成立”是假命题，则实数 $m$ 的取值范围（）

A、 $[\frac{8}{3} ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 0) \cup [\frac{8}{3} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 0]$ D、 $(- \infty ， 0] \cup [\frac{8}{3} ， + \infty)$

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4. 函数 $y = (3^{x} - 3^{- x}) c o s x$ 在区间 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知角 $α$ 终边所在直线的斜率为 $- 2$ ，则 $\frac{s i n 2 α - c o s^{2} α}{c o s 2 α} =$ （）

A、 $- 5$ B、5 C、 $- \frac{5}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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6. 为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量 $P (mg / L)$ 与时间 $t (h)$ 的关系为 $P = P_{0} e^{- k t}$ .如果在前5个小时消除了 $10%$ 的污染物，那么污染物减少 $19%$ 需要花的时间为（）

A、7小时 B、10小时 C、15小时 D、18小时

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7. 已知定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (1 - x) + f (1 + x) = 0$ ，若 $f (0) = 3$ ，则 $f (2022) + f (2023) =$ （）

A、 $0$ B、 $- 3$ C、 $3$ D、 $6$

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8. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）

①函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{6} ， 0)$ 对称②函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{5 π}{12}$ 对称③函数 $y = f (x)$ 在 $[- \frac{2 π}{3} ， - \frac{π}{6}]$ 单调递减④该图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位可得 $y = 2 \sin 2 x$ 的图象

A、①② B、①③ C、①②③ D、①②④

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9. 已知函数 $f (x) = l o g_{0.5} (x^{2} - a x + 3 a)$ 在 $(2 ， + \infty)$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围（）

A、 $(- \infty ， 4]$ B、 $[4 ， + \infty)$ C、 $[- 4 ， 4]$ D、 $(- 4 ， 4]$

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10. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} c o s (x - \frac{π}{2}) c o s x - 2 s i n^{2} x$ ，若 $f (x)$ 在区间 $[m ， \frac{π}{4}]$ 上单调递减，则实数 $m$ 的取值范围（）

A、 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{4}]$ B、 $[\frac{π}{3} ， \frac{π}{2}]$ C、 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{4})$ D、 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{3})$

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11. 已知实数 $a ， b ， c \in (0 ， e)$ ，且 $2^{a} = a^{2}$ ， $3^{b} = b^{3}$ ， $5^{c} = c^{5}$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < c < b$ C、 $b < c < a$ D、 $b < a < c$

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12. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域都为实数集，记 $h (x) = f^{'} (x)$ 若恒有 $f (\frac{3}{2} + 2 x)$ $= f (\frac{3}{2} - 2 x) ， h (2 + x) = h (2 - x)$ 成立，则正确结论共有（）
（1） $f (0) = 0$ ；（2） $h (- \frac{1}{2}) = 0$ ；（3） $f (- 1) = f (4)$ ；（4） $h (- 1) = h (2)$ .

A、（1）（3） B、（2）（3） C、（1）（2）（4） D、（2）（3）（4）

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二、填空题

13. 已知函数 $y = f (x)$ 的图象在点 $M (1 ， f (1))$ 处的切线方程是 $y = 3 x - 1$ ，则 $f (1) + f^{'} (1) =$ .

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14. 已知直线 $y = - x + 3$ 分别与函数 $y = e^{x}$ 和 $y = l n x$ 的图象交于点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$ ．

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15. 如图是某商业小区的平面设计图，初步设计该小区为半径是200米，圆心角是120°的扇形 $A O B$ . $O$ 为南门位置， $C$ 为东门位置，小区里有一条平行于 $A O$ 的小路 $C D$ ，若 $O D = \frac{200 \sqrt{6}}{3}$ 米，则圆弧 $A C$ 的长为米

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16. 已知 $a ， b \in R$ ，函数 $f (x) = \frac{x^{2} + a x + b + | x^{2} - a x - b |}{2}$ 的最小值为 $b^{2}$ ，则 $b$ 的取值范围是：.

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三、解答题

17. 已知 $m \in R$ ，设 $p$ ： $\forall x \in [- 1 ， 1]$ ， $x^{2} - 2 x - m^{2} + 4 m - 2 \geq 0$ 成立； $q$ ： $\exists x \in [1 ， 2]$ ， $l o g_{\frac{1}{2}} (x^{2} - m x + 1) < - 1$ 成立，如果“ $p \lor q$ ”为真，“ $p \land q$ ”为假，求实数 $m$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = l o g_{9} (9^{x} + 1) + k x$ 是偶函数．

(1)、求实数 $k$ 的值；

(2)、设 $h (x) = l o g_{9} (a \cdot 3^{x} - \frac{4}{3} a)$ ，若函数 $f (x)$ 与 $h (x)$ 的图象有且仅有一个公共点，求实数 $a$ 的取值范围．

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19. 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $2 b s i n A - \sqrt{3} a = 0$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、求cosA+cosB+cosC的取值范围．

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20. 设函数 $f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + 2 a x$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $(\frac{2}{3} ， + \infty)$ 上存在单调递增区间，求 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $0 < a < 2$ 时， $f (x)$ 在 $[1 ， 4]$ 上的最小值为 $- \frac{16}{3}$ ，求 $f (x)$ 在该区间上的最大值.

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21. 如图，扇形 $O P Q$ 区域（含边界）是一风景旅游区，其中P，Q分别在公路OA和OB上．经测得，扇形 $O P Q$ 区域的圆心角 $∠ P O Q = \frac{π}{3}$ ，半径为5千米．为了方便旅游参观，打算在扇形 $O P Q$ 区域外修建一条公路 $M N$ ，分别与OA和OB交于M，N两点，并且MN与 $\overset{⌢}{P Q}$ 相切于点S（异于点P，Q），设 $∠ P O S = α$ （弧度），将公路 $M N$ 的长度记为 $y$ （单位：千米），假设所有公路的宽度均忽略不计．

(1)、将y表示为 $α$ 的函数，并写出 $α$ 的取值范围；

(2)、求y的最小值，并求此时 $α$ 的值．

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22. 已知函数 $f (x) = x - l n (x + a)$ 的最小值为0，其中 $a > 0$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若对任意的 $x \in [0 ， + \infty)$ ，有 $f (x) \leq k x^{2}$ 成立，求实数 $k$ 的最小值；

(3)、证明 $\sum_{i = 1}^{n} \frac{2}{2 i - 1} - l n (2 n + 1) < 2 (n \in N^{*})$ .

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