河南省青桐鸣2023届高三上学期理数第三次大联考试卷

试卷更新日期：2022-11-15 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | \sqrt{x - 1} < 2}$ ， $B = N^{*}$ ，则 $A ∩ B =$ （）．

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${1 ， 2 ， 3}$ C、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$ D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$

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2. 已知命题 $p ： \forall x \in R$ ， $x^{2} + 1 \geq a$ ，若 $\neg p$ 为真命题，则a的取值范围是（）．

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(- \infty ， 1]$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $[1 ， + \infty)$

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3. 设a，b是实数，则“ $a > b$ ”的一个必要不充分条件是（）．

A、 $a^{2} > b^{2}$ B、 $a^{3} > b^{3}$ C、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ D、 $2^{a + 1} > 2^{b}$

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4. 若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ， $\vec{c} \cdot \vec{a} = 2$ ， $\vec{c} \cdot \vec{b} = 3$ ， $\vec{c} = x \vec{a} + y \vec{b}$ ，则 $x + y =$ （）．

A、5 B、6 C、3 D、4

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5. 已知 $a = l o g_{4} 5$ ， $b = \frac{5}{4}$ ， $c = \sqrt[3]{2}$ ，则a，b，c的大小关系是（）．

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $b < c < a$

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6. 已知角 $θ \in (\frac{π}{2} ， π)$ ，角 $α \in (0 ， 2 π)$ ， $α$ 终边上有一点 $(- s i n θ ， c o s θ)$ ，则 $α =$ （）

A、 $θ + \frac{π}{2}$ B、 $θ + \frac{3 π}{2}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{4}$

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7. 如图是函数 $f (x)$ 的图象，则函数 $f (x)$ 的解析式可以为（）．

A、 $e^{x} + l n | x |$ B、 $e^{- x} + e^{2 x}$ C、 $x^{2} + \frac{1}{x}$ D、 $x + \frac{1}{x^{2}}$

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8. 已知在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a＝4，c＝2b－2，则 $c o s B$ 的最小值为（）

A、 $\frac{5}{8}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5} - 1}{8}$ D、 $\frac{4 \sqrt{5} - 1}{10}$

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9. 已知 $f (x)$ 是偶函数且在 $[0 ， + ∞)$ 上单调递增，则满足 $f (s i n x) < f (c o s x)$ 的一个区间是（）

A、 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ B、 $(\frac{3 π}{4} ， π)$ C、 $(- \frac{5 π}{4} ， \frac{3 π}{2})$ D、 $(\frac{3 π}{2} ， \frac{7 π}{4})$

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $\vec{B M} = λ \vec{B C}$ ， $\vec{N C} = μ \vec{A C}$ ，直线AM交BN于点Q， $\vec{B Q} = \frac{2}{3} \vec{B N}$ ，则（）

A、 $λ + μ = 1$ B、 $λ μ = \frac{1}{4}$ C、 $(λ - 1) (2 μ - 3) = 1$ D、 $(2 λ - 3) (μ - 1) = 1$

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11. 以意大利数学家莱昂纳多·斐波那契命名的数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = a_{2} = 1$ ， $a_{n + 2} = a_{n} + a_{n + 1}$ ，设其前n项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{100} =$ （）．

A、 $a_{101} + 1$ B、 $a_{102} - 1$ C、 $a_{103} - 1$ D、 $a_{104} - 100$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} s i n x + c o s x ， c o s x \geq 0 \\ s i n x - c o s x ， c o s x < 0 \end{array}$ ，则以下结论：① $f (x)$ 的周期为 $2 π$ ；② $f (x)$ 的图像关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称；③ $f (x)$ 的最小值为 $- \sqrt{2}$ ；④ $f (x)$ 在 $(\frac{π}{2} ， π)$ 上单调，其中正确的个数为（）．

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + 1$ ， $g (x) = a - x^{2}$ 的值域分别为 $M$ ， $N$ ， $M \cap N \neq \emptyset$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，公比 $q > 0$ ，首项 $a_{1} = 1$ ，前三项和为7， $a_{1} a_{2} ⋯ a_{n} = 1024$ ，则n＝．

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15. 已知 $t a n α + t a n β = 3$ ， $s i n (α + β) = 3 s i n (α - β)$ ，则 $t a n (α - β) =$ ．

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16. 已知 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数， $g (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数， $f (1) = 1$ ， $g (2 - x) + g (x) = 0$ ，则以下命题：① $g (x)$ 是偶函数；② $g (1) = 0$ ；③ $f (x)$ 的图象的一条对称轴是 $x = 2$ ；④ $\sum_{i = 1}^{2022} f (i) = 1$ ，其中正确的序号是．

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三、解答题

17. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} - a_{n} = 2 n$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、证明： $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + ⋯ + \frac{1}{a_{n}} < 2$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = 2 s i n^{2} (x + \frac{π}{4}) + \sqrt{2} c o s (x - \frac{π}{4}) (s i n x - c o s x)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的对称中心及最小正周期；

(2)、若 $θ \in (- \frac{π}{8} ， \frac{3 π}{8})$ ， $f (θ) = \frac{6}{5}$ ，求 $t a n θ$ 的值．

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19. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $a = 4$ ， $c = 3 b$ ．

(1)、若 $c o s A = \frac{1}{6}$ ，求 $△ A B C$ 的周长；

(2)、若 $△ A B C$ 内切圆、外接圆的半径分别为r，R，求 $r \cdot R$ 的取值范围．

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20. 已知 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的偶函数， $g (x) = \frac{f^{'} (x)}{l n 2}$ ，且 $f (x) + g (x) = 2^{x + 1}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的解析式；

(2)、求不等式 $2 {[f (x)]}^{2} - 3 g (x) \leq 8$ 的解集．

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21. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} - 2 a_{n} = 3^{n - 1}$ ．

(1)、证明： ${a_{n + 1} - 3 a_{n}}$ 是等比数列；

(2)、设 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，求满足 $S_{n} < 2023$ 的n的最大值．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{e + 1}$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线过点 $(0 ， e)$ ， a为常数．

(1)、求a的值；

(2)、证明： $f (x) \geq x^{e} (1 - e l n x)$ ．

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