河南省洛平许济联考2022-2023学年高三上学期理数第一次质量检测试卷

试卷更新日期：2022-11-15 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = (2 ， 3)$ ， $B = {x | y = l g (x - 1)}$ ，则 $A ∩ B =$ （）．

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(2 ， 3)$ C、 $(1 ， 3)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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2. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 2 - i$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）．

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $- \frac{3}{2} i$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{2} i$

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3. 已知 $p ： \forall x \in R$ ， $x^{2} - a x + 1 \geq 0$ ； $q ： \exists x \in R$ ， $2^{x} < a$ ．若 $p \land \neg q$ 为真，则实数a的取值范围为（）．

A、 $(- 2 ， 0]$ B、 $(- 2 ， 0)$ C、 $[- 2 ， 0]$ D、 $[- 2 ， 0)$

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4. 已知曲线 $y = m \cdot 2^{x}$ 在点 $(0 ， m)$ 处的切线与直线 $y = x$ 垂直，则实数 $m$ 的值为（）．

A、 $- l o g_{2} e$ B、 $l o g_{2} e$ C、 $- l n 2$ D、 $l n 2$

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5. 已知函数 $f (x) = \frac{2 t a n \frac{x}{2}}{1 + t a n^{2} \frac{x}{2}}$ ，当 $x \in [0 ， \frac{π}{3}]$ 时， $f (x)$ 的最大值为（）.

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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6. 已知函数 $f_{1} (x) = \frac{| x |}{e^{x}}$ ， $f_{2} (x) = \frac{| l n x |}{x}$ ， $f_{3} (x) = x s i n x$ ， $f_{4} (x) = x c o s x$ ，这四个函数的部分图象如图所示，则函数 $f_{1} (x)$ ， $f_{2} (x)$ ， $f_{3} (x)$ ， $f_{4} (x)$ 对应的图象依次是（）．

A、①③②④ B、③②①④ C、①④③② D、③④①②

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7. 过抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点 $F$ 且倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，则以 $A B$ 为直径的圆的方程是（）．

A、 ${(x - 6)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 16$ B、 ${(x - 6)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 64$ C、 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 16$ D、 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 64$

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8. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，点 $E$ 在线段 $A D$ 上且与端点不重合，若 $\vec{B E} = x \vec{B A} + y \vec{B C}$ ，则 $l n x + l n y$ 的最大值为（）．

A、 $l n 6$ B、 $- l n 6$ C、 $2 l n 2$ D、 $- 2 l n 2$

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9. 已知菱形ABCD的边长为2， $∠ B A D = 60 °$ ， E是AD的中点，沿BE将 $△ A B E$ 折起至 $△ P B E$ 的位置，使 $P D = \sqrt{2}$ ，则下列结论中错误的是（）．

A、平面 $P B E ⊥$ 平面PDE B、平面 $P B E ⊥$ 平面PBC C、平面 $P B E ⊥$ 平面BCDE D、平面 $P B D ⊥$ 平面BCDE

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = \frac{2 n + 1}{n^{2} + n} \cdot c o s n π$ ，若对于任意正整数 $n$ ，都有 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{2 n - 1} + a_{2 n} > m^{2} - 2 m - 4$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）．

A、 $(- 1 ， 3)$ B、 $[- 1 ， 3]$ C、 $(- 3 ， 1)$ D、 $[- 3 ， 1]$

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11. 把函数 $f (x) = s i n 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{ω}$ 倍，纵坐标不变，得到函数 $y = g (x)$ 的图象．若函数 $y = g (x)$ 的图象与直线 $y = \frac{1}{2}$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上至少有3个交点，则正数 $ω$ 的取值范围是（）．

A、 $(\frac{11}{6} ， \frac{5}{2}]$ B、 $(\frac{5}{2} ， \frac{23}{6}]$ C、 $(\frac{11}{6} ， + \infty)$ D、 $(\frac{5}{2} ， + \infty)$

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12. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $F_{1} ， F_{2}$ 分别是椭圆 $E$ 的左、右焦点，点 $A$ 在椭圆 $E$ 上且在以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆上．线段 $F_{1} A$ 与 $y$ 轴交于点 $B$ ， $\vec{F_{1} A} \cdot \vec{F_{1} B} = 8$ ，则 $△ F_{1} A F_{2}$ 的面积为（）．

A、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{8}{3}$

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二、填空题

13. 双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = a (a > 0)$ 的渐近线的方程为．

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14. 已知函数 $y = f (x)$ 的周期为8，且满足 $f (2 + x) = - f (2 - x)$ ，则 $f (6) =$ ．

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15. 三棱锥 $D - A B C$ 的外接球的表面积为 $20 π$ ， AD是该球的直径， $△ A B C$ 是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的正三角形，则三棱锥 $D - A B C$ 的体积为．

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16. 已知函数 $f (x) = (1 - x) e^{x}$ ，当关于 $x$ 的方程 $2 {[f (x)]}^{2} - 4 a f (x) + 1 = 0$ 的不同实数根的个数最多时，实数 $a$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 在锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 $2 a s i n B = \sqrt{3} b$ ．

(1)、求A；

(2)、求 $c o s B + c o s C$ 的取值范围．

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18. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{n + 1} = 2 S_{n} + 1 (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、在 $a_{n}$ 和 $a_{n + 1}$ 之间插入 $n$ 个数，使这 $n + 2$ 个数组成一个公差为 $d_{n}$ 的等差数列，在数列 ${d_{n}}$ 中是否存在 $3$ 项 $d_{m} ， d_{k} ， d_{p}$ （其中 $m ， k ， p$ 是公差不为 $0$ 的等差数列）成等比数列？若存在，求出这 $3$ 项；若不存在，请说明理由．

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19. 如图，四面体ABCD中， $A D = C D$ ， $∠ A D B = ∠ C D B$ ， E是AC的中点．

(1)、当F在线段BD上移动时，判断AC与EF是否垂直，并说明理由；

(2)、若 $A B = A C = B D = 2$ ， $A D = \sqrt{2}$ ，试确定点F在线段BD上的位置，使CF与平面ABD所成角的正弦值为 $\frac{4 \sqrt{3}}{7}$ ．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为F，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，上顶点为 $(0 ， \sqrt{3})$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点，与y轴交于点M，若 $\vec{M P} = λ \vec{P F}$ ， $\vec{M Q} = μ \vec{Q F}$ ，判断 $λ + μ$ 是否为定值？并说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = x - 1 - a e^{2 x} (a \in R)$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $g (x) = \frac{f (x)}{e^{x}}$ ，证明：当 $1 < a < 2$ 时， $g (x) < - 1$ ．

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22. 在直角坐标系 $x o y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{\sqrt{2}}{2} t + 1 \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{array}$ （ $t$ 为参数），曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{3} s i n α + \sqrt{3} c o s α \\ y = \sqrt{3} s i n α - \sqrt{3} c o s α \end{array}$ （ $α$ 为参数）．

(1)、求直线 $l$ 与曲线 $C$ 的普通方程，并说明 $C$ 是什么曲线？

(2)、设M，N是直线 $l$ 与曲线 $C$ 的公共点，点 $P$ 的坐标为 $(1 ， 0)$ ，求 $| P M | - | P N |$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 1 | + 2 | x - 1 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) < 8$ 的解集；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) - | x - 1 |$ 的最小值为m，且正实数a，b，c满足 $a + b + c = m$ ，求证： $\frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{c} + \frac{c^{2}}{a} \geq 2$ ．

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