广西北海市2023届高三上学期理数第一次模拟考试试卷

试卷更新日期：2022-11-15 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 2 < x < 3}$ ，集合 $B = {- 2 ， - 1 ， 2 ， 3}$ ，则 $A \cap B$ 等于（）

A、 ${- 1 ， 2 ， 3}$ B、 ${- 1 ， 2 ， - 2}$ C、 ${- 2 ， - 1}$ D、 ${- 1 ， 2}$

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2. 已知复数z满足 $z = (a^{2} - 9) + (a + 3) i (a \in R)$ ，若z为纯虚数，则 $a =$ （）

A、-3 B、 $\pm 3$ C、3 D、0

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3. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = 8$ ， $a_{7} = 12$ ，则 $a_{12} =$ （）

A、19 B、18 C、17 D、20

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4. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵．记鲑鱼的游速为v（单位： $m / s$ ），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究发现 $v = k l n \frac{Q}{100} (k > 0)$ ．当 $v = 0.5 m / s$ 时，鲑鱼的耗氧量的单位数为800．当 $v = 1.5 m / s$ 时，鲑鱼的耗氧量的单位数为（）

A、12800 B、24800 C、25600 D、51200

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5. 如图所示几何体是底面直径为2，高为3的圆柱的上底面挖去半个球，则该几何体的表面积为（）

A、 $8 π$ B、 $9 π$ C、 $10 π$ D、 $11 π$

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6. 如图所示，阴影部分由四个全等的三角形组成，每个三角形是腰长等于圆的半径，顶角为 $θ (0 < θ < \frac{π}{2})$ 的等腰三角形．如果在圆内随机取一点，那么该点落到阴影部分内的概率为 $\frac{1}{π}$ ，则 $θ =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{12}$

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7. 已知角 $α$ 满足 $t a n (α - \frac{π}{4}) = \frac{1}{3}$ ，则 $s i n 2 α =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $- \frac{7}{9}$ D、 $\frac{4}{9}$

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8. 已知奇函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x)$ 在 $[0 ， 1]$ 上单调递增，在 $(1 ， + \infty)$ 上单调递减．若 $f (2) = 0$ ，则 $f (x) \geq 0$ 的解集为（）

A、 $[- 2 ， 2]$ B、 $(- \infty ， - 2] \cup [0 ， 2]$ C、 $[- 2 ， 0] \cup [2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2] \cup {0} \cup [2 ， + \infty)$

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9. 已知 $x_{1} ， x_{2} \in (m ， + \infty)$ $(m > 0)$ ，若 $x_{1} < x_{2}$ ， ${x_{1}^{1}}^{- x_{1}} > {x_{2}^{1}}^{- x_{2}}$ 恒成立，则正数m的最小值是（）

A、 $\frac{1}{e}$ B、1 C、 $\frac{1}{e} + 1$ D、e

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10. 已知函数 $f (x) = c o s (ω x - \frac{π}{3}) - \frac{1}{2} (ω > 0)$ ，将 $f (x)$ 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图象，已知 $g (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上恰有5个零点，则的取值范围是（）

A、 $[2 ， \frac{8}{3})$ B、 $(2 ， \frac{7}{3}]$ C、 $(2 ， \frac{8}{3}]$ D、 $[2 ， \frac{7}{3})$

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{n} = \frac{1}{2} (a_{n} + n - 1)$ ，则数列 ${n a_{n}}$ 的前81项的和为（）

A、1640 B、1660 C、1680 D、1700

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12. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，抛物线上的任意一点P到焦点F的距离比到直线 $x = - 2$ 的距离少 $\frac{3}{2}$ ，过焦点F的直线 $l_{1}$ 与抛物线C交于A，B两点，直线 $A O$ ， $B O$ 与直线 $l_{2} ： y = x - 3$ 分别相交于M，N两点，O为坐标原点，若 $| M N | = 24$ ，则直线 $l_{1}$ 的斜率为（）

A、1或 $\frac{31}{17}$ B、1或2 C、 $\frac{1}{3}$ 或2 D、 $\frac{1}{2}$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a}$ 是单位向量，向量 $\vec{b} = (\sqrt{2} ， \sqrt{2})$ ，且 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = - 6$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为．

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14. ${(2 x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{4}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数为．

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15. 如图，已知双曲线 $M ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，正六边形 $A B F_{2} C D F_{1}$ 的一边 $A F_{1}$ 的中点恰好在双曲线 $M$ 上，则双曲线 $M$ 的离心率是．

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16. 如图，在体积为 $\frac{4}{3}$ 的三棱锥 $P - A B C$ 中， $A C ⊥ B C$ ， $A D = B D$ ， $P D ⊥$ 底面 $A B C$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球体积的最小值为.

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三、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\frac{\sqrt{3}}{3} c s i n B = a - b c o s C$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 周长的最大值．

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18. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ B C$ ， E为 $A A_{1}$ 的中点，F为 $B C$ 的中点．

(1)、证明： $E F$ $∥$ 平面 $A_{1} B C_{1}$ ；

(2)、若 $A C = B C = C C_{1} = 2$ ，求平面 $A_{1} B C_{1}$ 与平面 $A E F$ 所成二面角的正弦值．

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19. 某校为了了解学生每天完成数学作业所需的时间收集了相关数据（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，学生完成数学作业的时间的范围是 $(0 ， 100]$ ．其统计数据分组区间为 $(0 ， 20)$ ， $[20 ， 40)$ ， $[40 ， 60)$ ， $[60 ， 80)$ ， $[80 ， 100]$ ．

(1)、求直方图中x的值；

(2)、以直方图中的频率作为概率，从该校学生中任选4人，这4名学生中完成数学作业所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $(- 1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ 在椭圆 $C$ 上，且椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、相互垂直且斜率存在的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 都过点 $B (1 ， 0)$ ，直线 $l_{1}$ 与椭圆相交于 $P$ 、 $Q$ 两点，直线 $l_{2}$ 与椭圆相交于 $M$ 、 $N$ 两点，点 $D$ 为线段 $P Q$ 的中点，点 $E$ 为线段 $M N$ 的中点，证明：直线 $D E$ 过定点．

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21. 已知函数 $f (x) = a e^{x} + l n (e a) (a > 0)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求过点 $(- 2 ， 0)$ 且和曲线 $y = f (x)$ 相切的直线方程；

(2)、若对任意实数 $x > 1$ ，不等式 $f (x) \geq l n (x - 1)$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = c o s α + 1 \\ y = s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $ρ c o s θ - ρ s i n θ - 2 = 0$ ．

(1)、求曲线C的标准方程与直线l的直角坐标方程；

(2)、若直线l与曲线C交于A，B两点，求A，B两点的极坐标．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - a | + | x + 2 |$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求不等式 $f (x) \leq 5$ 的解集；

(2)、若 $f (x) > 2 a$ ，求实数a的取值范围．

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