广西壮族自治区桂林市灌阳县2022-2023学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-11-15 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列方程中是一元二次方程的是（）

A、 $x y + 2 = 1$ B、 $x^{2} + \frac{1}{2 x} - 9 = 0$ C、 $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ D、 $x^{2} + b x + c = 0$

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2. 反比例函数 $y = \frac{3}{x}$ 的图象在（）

A、第一、二象限 B、第二、四象限 C、第一、三象限 D、第三、四象限

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3. 用配方法解一元二次方程 $2 x^{2} - 4 x = 1$ ，配方后的结果是（）

A、 ${(x - 1)}^{2} = \frac{3}{2}$ B、 ${(2 x - 1)}^{2} = 0$ C、 $2 {(x - 1)}^{2} = 1$ D、 ${(x + 2)}^{2} = \frac{3}{2}$

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4. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 若长度为 $6 c m$ ， $3 c m$ ， $8 c m$ ， $a c m$ 的四条线段是成比例线段，则 $a$ 的值为（）

A、2 B、4 C、16 D、3

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6. 若两个相似三角形的对应边之比为 $3 ： 5$ ，则这两个相似三角形的周长之比为（）

A、 $3 ： 5$ B、 $9 ： 5$ C、 $9 ： 25$ D、 $6 ： 10$

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7. 如果关于x的一元二次方程ax²+bx+1=0的一个解是x=1，则代数式a+b的值为（）

A、-1 B、1 C、-2 D、2

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8. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(a - 1) x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 有实数根，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \leq 2$ B、 $a > 2$ C、 $a \leq 2$ 且 $a \neq 1$ D、 $a < - 2$

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9. 若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝8cm，AC＞BC，则AC等于（）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ cm B、2（ $\sqrt{5}$ -1）cm C、4（ $\sqrt{5}$ -1）cm D、6（ $\sqrt{5}$ -1）cm

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10. 如图，直线 $l_{1} ∥ l_{2} ∥ l_{3}$ ，如果 $A B = 3 ， B C = 5 ， E F = 4$ ，那么DE的长是（）

A、 $\frac{12}{5}$ B、 $\frac{32}{5}$ C、 $\frac{20}{3}$ D、 $\frac{32}{3}$

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11. 如图，在同一直角坐标系中，函数y= $\frac{k}{x}$ 与y=kx+k²的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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12. 如图，平行四边形 $A B C O$ 的顶点 $B$ 在双曲线 $y = \frac{6}{x}$ 上，顶点 $C$ 在双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 上， $B C$ 中点 $P$ 恰好落在 $y$ 轴上，已知 $S_{▱ O A B C} = 10$ ，则 $k$ 的值为（）

A、-8 B、-6 C、-4 D、-2

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二、填空题

13. 反比例函数 $y = \frac{1}{2 x}$ 的比例系数是．

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14. 已知二次函数 $y = x^{2} - m x + 6$ 的顶点在x轴上，则 $m =$ ．

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15. 如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB ，她调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条边DE＝8cm，DF＝10cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB＝m．

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16. 疫情期间，学校利用一段已有的围墙（可利用的围墙长度仅有5米）搭建一个矩形临时隔离点ABCD，如图所示，它的另外三边所围的总长度是10米，矩形隔离点的面积为12平方米，则AB的长度是米.

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17. 如图， $△ O A_{1} B_{1}$ ， $△ A_{1} A_{2} B_{2}$ ， $△ A_{2} A_{3} B_{3}$ ， …是分别以 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， …为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点 $C_{1} (x_{1} ， y_{1})$ ， $C_{2} (x_{2} ， y_{2})$ ， $C_{3} (x_{3} ， y_{3})$ ， …均在反比例函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图象上，则 $y_{1} + y_{2} + ⋯ + y_{100}$ 的值为．

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三、解答题

18. 若一元二次方程 $x^{2} - (2 m + 3) x + m^{2} = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} + x_{2} = x_{1} x_{2}$ ，则 $m$ 的值是．

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19. 解下列方程： $4 x^{2} + 3 x - 7 = 0$

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20. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中．

⑴画出△ABC向上平移6个单位长度，再向右平移5个单位长度后的△A₁B₁C₁；

⑵以点B为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A₂B₂C₂ ，请在网格中画出△A₂B₂C₂ ．

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21. 如图，在△ABC中，已知DE∥BC，AD=4，DB=8，DE=3．

(1)、求 $\frac{A E}{A C}$ 的值；

(2)、求BC的长．

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22. 已知反比例函数 $y = - \frac{6}{x}$ 的图象经过点 $A (2 ， m)$ ．

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、当 $x \leq 1$ 且 $x \neq 0$ 时，直接写出 $y$ 的取值范围．

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23. 如图， $A B ∥ P Q$ ， $A B = 80 m$ ， $P Q = 100 m$ ，点 $P$ ， $A$ ， $C$ 在一条直线上，点 $Q$ ， $B$ ， $C$ 也在一条直线上．若 $A B$ 与 $P Q$ 的距离是 $20 m$ ，求点 $C$ 到直线 $P Q$ 距离．

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24. 某商场销售一批衬衫，平均每天可销售出20件，每件盈利40元，为扩大销售盈利，商场决定采取适当的降价措施，但要求每件盈利不少于20元，经调查发现．若每件衬衫每降价1元，则商场每天可多销售2件．

(1)、若每件衬衫降价4元，则每天可盈利多少元？

(2)、若商场平均每天盈利1200元．则每件衬衫应降价多少元？

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25. 如图，四边形 ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a 、b 、c 是 RtΔABC和 RtΔBED 的边长，已知 $A E = \sqrt{2} c$ ，这时我们把关于 x 的形如 $a x^{2} + \sqrt{2} c x + b = 0$ 二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：

(1)、写出一个“勾系一元二次方程”；

(2)、求证：关于 x 的“勾系一元二次方程” $a x^{2} + \sqrt{2} c x + b = 0$ ，必有实数根；

(3)、若 x = -1是“勾系一元二次方程” $a x^{2} + \sqrt{2} c x + b = 0$ 的一个根，且四边形 ACDE 的周长是6 $\sqrt{2}$ ，求ΔABC 的面积．

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26. 如图，在直角坐标中，矩形 $O A B C$ 的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为 $(2 ， 3)$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 是的图象经过 $B C$ 的中点D，且与 $A B$ 交于点E，连接 $D E$ ．

(1)、求k的值及点E的坐标；

(2)、若点F是 $O C$ 边上一点，且 $△ F B C ∽ △ D E B$ ，求直线 $F B$ 的解析式．

(3)、若点P在y轴上，且 $△ O P D$ 的面积与四边形 $B D O E$ 的面积相等，求点P的坐标．

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