山东省济南市市中区2022-2023学年八年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-11-15 类型：期中考试

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一、单选题

1. 16的算术平方根是（）

A、±8 B、±4 C、4 D、－4

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2. 下列所给出的点中，在第二象限的是（　　）

A、 $(3 ， 2)$ B、 $(3 ， - 2)$ C、 $(- 3 ， - 2)$ D、 $(- 3 ， 2)$

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3. 满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（）

A、 $∠ A = ∠ B + ∠ C$ B、 $B C = 1$ ， $A C = 2$ ， $A B = \sqrt{5}$ C、 $B C ： A C ： A B = 3 ： 4 ： 5$ D、 $∠ A ： ∠ B ： ∠ C = 3 ： 4 ： 5$

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4. 在 $2 π$ ， $\frac{22}{3}$ ， $- \sqrt{8}$ ， $\sqrt[3]{- 27}$ ， $3.14$ ， $3.868668666 \dots$ （相邻两个 $8$ 之间 $6$ 的个数逐次加 $1$ ）中，无理数的数是（）个

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $5$

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5. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{3} + \sqrt{4} = \sqrt{7}$ B、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{{(- 2)}^{2}} = - 2$ D、 $\sqrt{18} = 3 \sqrt{2}$

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6. 已知点 $(- 2 ， y_{1}) ， (- 1 ， y_{2}) ， (1 ， y_{3})$ 都在直线 $y = - x + 7$ 上，则 $y_{1} ， y_{2} ， y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$ B、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ C、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ D、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$

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7. 已知函数 $y = k x + b$ 的图象如图所示，则函数 $y = - b x + k$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 正方体的棱长为2， $B C$ 的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为（）

A、 $\sqrt{13}$ B、 $\sqrt{17}$ C、5 D、2＋ $\sqrt{5}$

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9. 漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h(cm)是时间t(min)的一次函数，如下表是小明记录的部分数据，其中有一个h的值记录不符合题意，请排除后利用正确的数据确定当时间t为8时，对应的高度h为（）
t（min）
……
0
1
2
3
……
h（cm）
……
0.7
1.2
1.5
1.9
……

A、3.3 B、3.65 C、3.9 D、4.7

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10. 规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它关于x轴作对称点，一个点作“2”变换表示将它关于y轴作对称点．由数字0，1，2组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点 $A (- 2 ， 3)$ 按序列“012”作变换，表示点A先向右平移一个单位得到 $A_{1} (- 1 ， 3)$ ，再将 $A_{1} (- 1 ， 3)$ 关于x轴对称得到 $A_{2} (- 1 ， - 3)$ ，再将 $A_{2} (- 1 ， - 3)$ 关于y轴对称得到 $A_{3} (1 ， - 3)$ ．．．．．．依次类推．点 $(1 ， 1)$ 经过“012012012．．．．．．．”100次变换后得到点的坐标为（）．(注：“012”算3次变换)

A、 $(2 ， 1)$ B、 $(- 2 ， - 1)$ C、 $(- 2 ， - 1)$ D、 $(- 1 ， - 1)$

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二、填空题

11. 国庆期间，小强和小明两位同学去电影院看中国外交官撒侨题材电影《万里归途》．在电影票上，小强的“5排4座”记作 $(5 ， 4)$ ，则小明的“6排7座”可记作．

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12. 在平面直角坐标系中，点M（a＋1，a﹣1）在x轴上，则a＝．

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13. 如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线，若 $A B = A C = 13 ， B C = 10$ ，则 $A D =$ ．

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14. 已知a，b都是实数，若 $| a - 2 | + \sqrt{b + 4} = 0$ ，则 $\sqrt[3]{a b} =$ ．

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15. 甲、乙两位同学骑自行车，从各自家出发上学，他们离乙家的距离y(km)与出发时间x(min)之间的函数关系如图所示，则乙比甲早到分钟．

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16. 如图，长方形 $A B C D$ 中， $A D = 3$ ， $A B = 5$ ，点E为射线 $C D$ 上一动点(不与D重合)，将 $△ A D E$ 沿AE折叠得到 $△ D^{'} A E$ ，连接 $D^{'} B$ ，若 $△ A B D^{'}$ 为直角三角形，则 $A E =$

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三、解答题

17. 计算：

(1)、 $\sqrt{12} - \sqrt{3} + \sqrt{\frac{1}{3}}$

(2)、 $\frac{\sqrt{50} \times \sqrt{32}}{\sqrt{8}} - 4 \sqrt{2}$

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18. 解方程：

(1)、 $(x － 1)^{2} = 16$ ；

(2)、 $8 (2 x + 1)^{3} － 27 = 0$ ．

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19. 如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度 $D E = 1 m$ ，将它往前推送 $4 m ($ 水平距离 $B C = 4 m)$ 时，秋千的踏板离地的垂直高度 $B F = 3 m$ ，若秋干的绳索始终拉得很直，求绳索 $A D$ 的长度．

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20. 在如图所示的方格(每个小正方形的边长为1)中， $△ A B C$ 的顶点A的坐标为 $(- 2 ， 3)$ ，顶点C的坐标为 $(- 1 ， 1)$ ．

(1)、在方格图中建立坐标系，并标出原点；

(2)、 $△ A B C$ 的面积是；

(3)、试确定y轴上一点P，使得 $A P + B P$ 的和最小，求出 $A P + B P$ 的最小值，并画出点P，保留作图痕迹．

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21. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = 20 ， B C = 15 ， C D = 7 ， A D = 24 ， ∠ B = 90 °$ ．

(1)、求证： $C D ⊥ A D$

(2)、求四边形 $A B C D$ 的面积．

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22. 如图，已知点 $A (6 ， 0)$ )、点 $B (0 ， 4)$ ．

(1)、求直线 $A B$ 的函数表达式；

(2)、若C为直线 $A B$ 上一动点，当 $△ O B C$ 的面积为3时，求点C的坐标．

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23. 冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉样物．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小张在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定用900元(全部用完)从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表：

A款玩偶
B款玩偶
进货价(元/个)
25
20
销售价(元/个)
33
25
设小张购进A款玩偶x个，B款玩偶y个．

(1)、求y与x之间的函数表达式；

(2)、如果小张购进A款玩偶20个，那么这次进货全部售完，能盈利多少元？

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24. 观察下列一组等式，解答后面的问题：
( $\sqrt{2}$ ＋1)( $\sqrt{2}$ －1)＝1，
( $\sqrt{3}$ ＋ $\sqrt{2}$ )( $\sqrt{3}$ － $\sqrt{2}$ )＝1，
( $\sqrt{4}$ ＋ $\sqrt{3}$ )( $\sqrt{4}$ － $\sqrt{3}$ )＝1，
( $\sqrt{5}$ ＋ $\sqrt{4}$ )( $\sqrt{5}$ － $\sqrt{4}$ )＝1，

(1)、根据上面的规律：
① $\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}}$ ＝；
② $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ ＝；

(2)、计算：（ $\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ ＋ $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ ＋ $\frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}}$ ＋…＋ $\frac{1}{\sqrt{2022} + \sqrt{2021}}$ ）×( $\sqrt{2022}$ ＋1)．

(3)、若a＝ $\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ ，则求 $a^{3} - 4 a^{2} - 2 a + 1$ 的值．

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25. 如图，一次函数 $y ＝ k x + 4$ 与x轴交于点 $A (4 ， 0)$ ，点C在直线 $A B$ 上且横坐标为3．

(1)、求k的值和点C的坐标；

(2)、点D为x轴上一点， $B D = C D$ ，求点D的坐标；

(3)、在（2）的条件下，若点M是x轴上的动点，问在直线 $A B$ 上，是否存在点N(点N与点C不重合)，使 $△ A M N$ 与 $△ A C D$ 全等？若存在，请直接写出点N的坐标，并写出其中一种情况的解答过程，若不存在，请说明理由．

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26. 综合与实践
某学校的数学兴趣小组发现这样一个模型，两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，会形成一组全等的三角形，具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．

(1)、[材料理解]如图1，在 $△ A B C$ 中，分别以 $A B$ ， $A C$ 为边向外作等腰 $△ A B D$ 和等腰 $△ A C E$ ． $A B ＝ A D$ ， $A C ＝ A E$ ， $∠ B A D = ∠ C A E$ ，连接 $B E$ ， $C D$ ，试猜想 $B E$ 与 $C D$ 的大小关系，并说明理由；

(2)、[深入探究]如图2，在 $△ A B C$ 中， $A B ＝ 6$ ， $B C ＝ 4$ ， $∠ A B C ＝ 45 °$ ，分别以 $A B$ ， $A C$ 为边向外作等腰直角 $△ A B D$ 和等腰直角 $△ A B C$ ， $∠ B A D ＝ ∠ C A E ＝ 90 °$ ，连接 $B E$ ， $C D$ ，求 $B E$ 的长．

(3)、[延伸应用]如图3，在 $△ A B C$ 中， $A B ＝ 10$ ，点D为平面内一点，连接 $A D$ ， $B D$ ，满足 $A D ＝ 6$ ， $B D ＝ B C$ ， $∠ D B C ＝ 60 °$ ， $∠ D A C ＝ 30 °$ ，求 $A C$ 的长．

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	A款玩偶	B款玩偶
进货价(元/个)	25	20
销售价(元/个)	33	25

t（min）	……	0	1	2	3	……
h（cm）	……	0.7	1.2	1.5	1.9	……