浙江省温州新力量联盟2022-2023学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-11-14 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集 $A = {x | - 1 < x \leq 1}$ ， $B = {x | 0 < x < 3}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(- 1 ， 3)$ B、 $(0 ， 1]$ C、 $(- 1 ， 0)$ D、 $[1 ， 3)$

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2. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (x - 1)^{2} + 1 ， x \geq 0 \\ x + 4 ， x < 0 \end{array}$ ，则 $f (- 2) + f (1) =$ （）

A、7 B、3 C、-3 D、-7

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3. 下列命题中真命题是

A、“ $a > b$ ”是 $a^{2} > b^{2}$ 的充分条件 B、“ $a > b$ ”是 $a^{2} > b^{2}$ 的必要条件 C、“ $a > b$ 是“ $a c^{2} > b c^{2}$ ”的必要条件 D、“ $a > b$ ”是“ $| a | > | b |$ ”的充分条件

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4. 已知命题 $p ： \forall x > 0$ ， $a x^{2} + 1 > 0$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\exists x_{0} > 0$ ， $a x_{0}^{2} + 1 \leq 0$ B、 $\forall x > 0$ ， $a x^{2} + 1 \leq 0$ C、 $\exists x_{0} \leq 0$ ， $a x_{0}^{2} + 1 \leq 0$ D、 $\forall x < 0$ ， $a x^{2} + 1 \leq 0$

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5. 已知正实数 $x$ ， $y$ 满 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2$ ，则 $x y$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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6. 函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{1 + a^{x}} (a > 1)$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 若幂函数 $f (x) = m x^{α}$ 的图象过点 $(2 ， 8)$ ，则 $g (x) = α - x + \sqrt{x - m}$ 的值域为（）

A、 $[\frac{9}{4} ， + \infty)$ B、 $[2 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， \frac{9}{4}]$ D、 $(- \infty ， 2]$

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} - m}{1 + 2^{x}}$ 是定义在R上的奇函数，若对任意 $x \in [1 ， 2]$ ，不等式 $f (\frac{2^{x}}{2^{x} + 1}) + f (a \cdot 2^{x} + a) \leq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 有（）

A、最大值 $- \frac{2}{9}$ B、最大值 $- \frac{1}{4}$ C、最小值 $- \frac{9}{2}$ D、最小值-4

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二、多选题

9. 下列函数是增函数的是（）

A、 $f (x) = 2 x + 1$ B、 $f (x) = 2 x + \frac{1}{x}$ C、 $f (x) = 2^{x} - 1$ D、 $f (x) = {\begin{array}{l} x - \frac{1}{x} ， x > 1 \\ - (x - 1)^{2} ， x \leq 1 \end{array}$

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10. 已知正数 $a ， b$ 满足 $a + b = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{9}{b} \geq 20$ C、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2}$ D、 $2^{a} + 2^{b} \geq 2 \sqrt{2}$

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11. 已知 $a + a^{- 1} = 4 (a > 0)$ ，则下列选项中正确的有（）

A、 $a^{2} + a^{- 2} = 14$ B、 $a^{3} + a^{- 3} = 56$ C、 $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = \sqrt{6}$ D、 $a - a^{- 1} = 2 \sqrt{3}$

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12. 定义 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的整数，设函数 $f (x) = x^{2} - x [x]$ ，则下列命题正确的有（）

A、 $f (\sqrt{2}) = 2 - \sqrt{2}$ B、若 $- 2 \leq x \leq 2$ ，则 $f (x)$ 的图象与函数 $y = x$ 的图象有1个交点 C、 $f (x) = x^{2} - x [x]$ 在 $(- 1 ， + \infty)$ 上单调递增 D、使得不等式 $f (x) \leq a x^{2}$ 恒成立的 $a$ 的最小值是1

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三、填空题

13. 满足 ${1 ， 2} \subseteq M \subseteq {1 ， 2 ， 3 ， 5}$ 的集合 $M$ 的个数为．

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14. 已知 $g (x)$ 为偶函数，且当 $x > 0$ 时，则 $g (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ ，则 $g (- 2) =$ ．

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15. 为了宣传第56届世乒赛，某体育用品商店购进一批乒乓球拍，每副进价200元，售价260元，每月可以卖出160副．由于疫情原因，商家决定降价促销，根据市场调查，每降价10元，每月可多卖出80副，降价后，商家要使每月的销售利润最大，应该将售价定为元．

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16. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + 3 ， g (x) = f (2^{x}) + 2 m$ ，若对 $\forall x_{1} \in [2 ， 4] ， \exists x_{2} \in [- 1 ， 2]$ ，使得 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ ，则实数 $m$ 的取值范围为．

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四、解答题

17. 计算：

(1)、 ${(3 \frac{3}{8})}^{- \frac{1}{3}} + 0 . 3^{0} - {(\sqrt{2})}^{2}$ ；

(2)、 $\sqrt[5]{16} \times \sqrt[10]{4} \div [\sqrt[4]{{(e - 4)}^{4}} - \sqrt[3]{{(2 - e)}^{3}}] (e \approx 2.71828)$ .

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18. 已知集合 $A = {x \in Z ∣ x^{2} - 2 x - 3 < 0} ， B = {x ∣ 2 m - 1 \leq x < 2}$ ．

(1)、求集合 $A$ ；

(2)、若 $A \cap B = {1}$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 3$ ， $h (x) = 3^{x} + 1$ ．

(1)、判断函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上的单调性，并用定义证明；

(2)、求函数 $y = h [f (x)]$ 在区间 $(- 1 ， \frac{1}{2})$ 上的值域．

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20. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a x + b ， a ， b \in R$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{1}{2} ， + \infty)$ 单调递增，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若不等式 $f (x) < x - 1$ 的解集为 $(- 3 ， 2)$ ，求关于 $x$ 的不等式 $\frac{5 + a x}{2 x - b} < 0$ 的解集．

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21. 工信部对新能源（插电式混合动力）汽车的综合油耗计算公式如下： $H = \frac{亏电状态下百公里平均油耗 \times 25}{纯电池驱动里程 + 25}$ （升/公里）．已知某型号新能源汽车在亏电（电池电量为0）时的每百公里平均油耗与其车身（电池＋车身其它结构）质量 $M$ （ $k g$ ）的关系式为 $H_{0} = 0.005 M + 2$ （升/百公里），其纯电池状态下，电池质量 $x$ （ $k g$ ）与车辆行驶里程间关系为 $S = - \frac{x^{2}}{400} + \frac{3 x}{4}$ （公里）．

(1)、若要使该型号汽车的纯电续航里程达到 $50 k m$ ，应安装多少质量的电池最合适？

(2)、已知该型号汽车除电池外的所有结构质量为 $1000 k g$ ，为达到工信部新能源汽车综合油耗最低值，应安装多少质量的电池？（ $\sqrt{237} \approx 15.39$ ，答案精确到 $1 k g$ ）

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22. 已知函数 $f (x) = x | x - 2 | + a | x - 2 | + 1$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，写出函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(2 ， 1)$ 中心对称，求 $a$ 的值；

(3)、若 $f (x) \leq x^{2}$ 对 $x \in R$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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