浙江省温州市环大罗山联盟2022-2023学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-11-14 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} = x}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $- 1 \in A$ B、 $1 \in A$ C、 $0 \notin A$ D、 $0 \subseteq A$

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2. 下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是（）

A、 $y = x + 1$ B、 $y = \sqrt{x}$ C、 $y = - \frac{2}{x}$ D、 $y = x^{3}$

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3. 已知a，b，c为实数，若 $a > b$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $a c^{2} \geq b c^{2}$ B、 $a c > b c$ C、 $a^{2} > b^{2}$ D、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

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4. 下列函数中哪个与 $y = x + 1$ 是同一个函数（）

A、 $y = \sqrt{{(x + 1)}^{2}}$ B、 $y = {(\sqrt{x + 1})}^{2}$ C、 $y = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ D、 $y = \frac{x^{3} + 1}{x^{2} - x + 1}$

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5. 函数 $f (x) = x^{\frac{4}{3}}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知 $a = 3 \sqrt{2}$ ， $b = \frac{7}{3 - \sqrt{2}}$ ， $c = {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{- 3}$ ，则下列关系正确的是（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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7. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 2 x + 3 ， x \leq 0 \\ - \frac{1}{x^{2}} ， x > 0 \end{array} ，$ 若 $f (f (a)) = 3$ ，则a=（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、0或 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 或 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{x} - \sqrt{x^{2} + 1} (x \neq 0)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\forall x \neq 0$ ，等式 $f (- x) + f (x) = 0$ 恒成立 B、 $\forall x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，若 $x_{1} > x_{2}$ ，则 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ C、方程 $f (x) = 0$ 有两个不相等的实数根 D、函数 $f (x)$ 的图像恒在函数 $g (x) = \frac{1}{x} - x$ 的图像的下方

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二、多选题

9. 已知集合 $A = {x | x = 2 n ， n \in Z}$ ，集合 $B = {x | x = 2 n - 1 ， n \in Z}$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $0 \in A$ B、 $A \cup B = Z$ C、 $A \cap B = \emptyset$ D、 $∁_{R} A = B$

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10. 已知 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $a + b = 4$ 则下列结论一定正确的有（）

A、 ${(a + 2 b)}^{2} \geq 8 a b$ B、 $\frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{b}} \geq 2 \sqrt{a b}$ C、ab有最大值4 D、 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 有最小值9

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11. 函数 $f (x) = [x]$ 的函数值表示不超过x的最大整数，例如 $[- 3.5] = - 4 ， [2.1] = 2$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (x)$ 为偶函数 C、若 $a > b$ ，则 $f (a) > f (b)$ D、 $f (x + 1) = f (x) + 1$

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12. 函数 $f (x) = a + 1 - | x - a |$ ， $g (x) = a x^{2} - x + 1$ ，其中 $a > 0$ .记 $m a x {m ， n} = {\begin{array}{l} m ， m \geq n \\ n ， m < n \end{array}$ ，设 $h (x) = m a x {f (x) ， g (x)}$ ，若不等式 $h (x) \leq \frac{1}{2}$ 恒有解，则实数 $a$ 的值可以是（）

A、 $1$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 9}$ 的定义域为.

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14. 在做好疫情防护工作时，常常用到酒精消毒.某人从盛有1L纯酒精的容器中倒出 $\frac{1}{4}$ L，然后用水填满：再倒出 $\frac{1}{4}$ L，又用水填满，连续进行5次操作，容器中的纯酒精还剩下多少L.

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15. 已知集合 $A = {x | \frac{x - 2}{x - 3} < 0} ， B = {x | x^{2} - 2 x + 1 - a^{2} < 0} ，$ ，若“ $x ∈ A$ ”是“ $x ∈ B$ ”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是.

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16. 设矩形 $A B C D （ A B > B C$ ）的周长为20cm，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P，则△APD面积的最大值为.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 5 x - 6 \geq 0}$ ，集合 $B = {x | x > 0}$ ，求下列集合.

(1)、 $A \cup B$

(2)、 $(∁_{R} A) ∩ B$

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18. 已知集合 $A = {x | m x^{2} - 6 x + m = 0}$

(1)、若集合A有且只有两个子集，求实数m的值.

(2)、当 $m = 1$ 时，若 $x_{1}$ ， $x_{2} \in A$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ，求 $x_{1}^{2021} \cdot x_{2}^{2022}$ 的值

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19. 已知函数 $f (x) = x | x - a |$

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的奇偶性（只需写出正确结论）；

(2)、当 $a = 2$ 时，写出函数 $f (x)$ 的单调递增区间：

(3)、当 $a \geq 2$ 时，求函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 2]$ 上的最大值.

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20. 为了印刷服务上一个新台阶，学校打印室花费10万元购进了一套先进印刷设备，该设备每年的管理费是0.4万元，而总的维修费用与使用年限x成二次函数关系（未使用时，维修费用为0），已知使用2年的总维修费为0.6万元，使用5年的总维修费为3万元，问

(1)、设年平均费用为y万元，写出y关于x的表达式；（年平均费用= $\frac{总费用}{年限}$ ）

(2)、这套设备使用多少年报废最合算？（即使用多少年的年平均费用最少）

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21. 已知 $a > 0 ， b > 0$ ，满足 $a^{2} + 4 b^{2} = 6 a b + λ$

(1)、当 $λ = - 1$ 时，求 $a + 2 b$ 的最小值

(2)、若 $λ > 0$ ，求 $\frac{b}{a}$ 的取值范围

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22. 已知函数 $f (x) = | 4^{x + 1} - a \cdot 2^{x} | + 4^{x} - 2^{x} + 1$

(1)、若 $a = 1$ ，求函数f（x）的值域；

(2)、设 $g (x) = \frac{f (x)}{2^{x}}$ ，若 $g (x) \geq 2 a$ 恒成立，求实数a的取值范围

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