浙江省湖州市三贤联盟2022-2023学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-11-14 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 3 ， 6 ， 9} ， B = {3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ，则 $A \cup B$ 为（）

A、 ${3 ， 6}$ B、 ${1 ， 4 ， 5 ， 9}$ C、 ${1 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 9}$ D、 ${3 ， 4 ， 5 ， 6}$

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2. 下列函数中与函数 $y = x - 1$ 是同一个函数的是（）

A、 $y = (\sqrt{x - 1})^{2}$ B、 $u = \sqrt[3]{{(v - 1)}^{3}}$ C、 $y = \sqrt{(x - 1)^{2}}$ D、 $m = \frac{n^{2}}{n} - 1$

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3. 已知 $b ， c \in R$ ，则“ $b = 0$ ”是“函数 $f (x) = x^{2} + b x + c$ 为偶函数”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“ $=$ ”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.那么下列命题为真命题的是（）

A、若 $a > b > 0 ，$ 则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a > b > 0 ，$ 则 $a^{2} > b^{2}$ C、若 $a < b < 0 ，$ 则 $a^{2} < a b < b^{2}$ D、若 $a < b < 0 ，$ 则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

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5. 已知 $a < 0$ ，函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ，若实数 $x_{0}$ 是方程 $2 a x + b = 0$ 的根，下列选项为假命题的是（）

A、 $\exists x \in R ， f (x) \leq f (x_{0})$ B、 $\exists x \in R ， f (x) \geq f (x_{0})$ C、 $\forall x \in R ， f (x) \leq f (x_{0})$ D、 $\forall x \in R ， f (x) \geq f (x_{0})$

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6. 若函数 $y = {\begin{array}{l} 2^{- x} - 1 ， x \leq 0 \\ x^{\frac{1}{2}} ， x > 0 \end{array}$ ，当 $x = x_{0}$ 时函数值 $y > 1$ ，则 $x_{0}$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(- 1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 2) \cup (0 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$

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7. 若 $a = 2 . 5^{0.4} ， b = 2 . 5^{0.3} ， c^{5} = 5$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $b < c < a$ B、 $c < b < a$ C、 $b < a < c$ D、 $a < b < c$

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8. 已知 $f (x + 1)$ 是偶函数，对 $\forall x_{1} \in (- \infty ， 1] ， x_{2} \in (- \infty ， 1]$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，且 $f (0) = 0 ，$ 则 $(x - 1) f (x) \leq 0$ 的解集是（）

A、 $[- 1 ， 0] \cup [1 ， + \infty)$ B、 $[0 ， 1] \cup [2 ， + \infty)$ C、 $[2 ， + \infty)$ D、 $[1 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 下列关于幂函数描述正确的有（）

A、幂函数的图象必定过定点 $(0 ， 0)$ 和 $(1 ， 1)$ B、幂函数的图象不可能过第四象限 C、当幂指数 $α = - 1 ， \frac{1}{2} ， 3$ 时，幂函数 $y = x^{α}$ 是奇函数 D、当幂指数 $α = \frac{1}{2} ， 3$ 时，幂函数 $y = x^{α}$ 是增函数

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10. 当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合 $A = {- 1 ， - \frac{1}{2} ， 0 ， 1}$ ， $B = {x | (a x + 1) (x - a) = 0}$ ，若 $A$ 与 $B$ 构成“全食”或“偏食”，则实数 $a$ 的取值可以是（）

A、-2 B、0 C、1 D、2

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11. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a^{2} + b^{2} = 1$ ，则（）

A、 $a b$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2 a b + 3}{a + b}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ C、 $a^{2} (1 + 2 b^{2})$ 的最大值为 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{1}{a^{2}} + \frac{4}{b^{2}}$ 的最小值为9

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12. 函数 $f (x) = \frac{a x + b}{| x | + c} (a ， b ， c \in R)$ 的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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三、填空题

13. 碳14是一种著名的放射性物质，像铀235、锶90、碘131、铯137、镭226等也都是放射性物质.放射性物质是指那些能自然地向外辐射能量，发出射线的物质.在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减.一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期.若在连续两个半衰期里，放射性物质将衰减为原有物质的.

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} - 1 (x \leq 1) \\ - \frac{1}{2} x + 6 (x > 1) \end{array}$ ，则 $f (f (16)) =$ .

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15. 依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）.2019年1月1日起，个税税额根据应缴纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额

=

应纳税所得额

\times

税率－速算扣除数.税率与速算扣除数见下表：

级数	全年应纳税所得额所在区间	税率（%）	速算扣除数
1	[0，36 000]	3	0
2	(36 000，144 000]	10	2 520
3	(144 000，300 000]	20	16 920
4	(300 000，420 000]	25	31 920
5	(420 000，660 000]	30	52 920
6	(660 000，960 000]	35	85 920
7	(960 000， $+ \infty$ )	45	181 920

若2021年小李的个税是27080元，那么小李全年应纳税所得额为元.

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16. 定义 $m a x {x ， y}$ 为实数 $x ， y$ 中较大的数.已知 $h = m a x {\frac{1}{a} ， \frac{a^{2} + 9 b^{2}}{b}}$ ，其中 $a ， b$ 均为正实数，则 $h$ 的最小值是.

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四、解答题

17. 计算：

(1)、 $\sqrt[3]{{(- 8)}^{3}} - {(\frac{1}{2})}^{0} + 0.2 5^{\frac{1}{2}} \times {(\frac{- \sqrt{2}}{2})}^{- 4}$ ；

(2)、已知 $1 0^{m} = 4 ， 1 0^{n} = 3 ，$ 求 $1 0^{\frac{3 m - 2 n}{2}}$ 的值.

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18. 已知集合 $U = R$ ，集合 $A = {x | \frac{1}{16} \leq {(\frac{1}{2})}^{x - 1} < \frac{1}{2} ， x \in R}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 a x + a^{2} - 1 < 0}$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $(∁_{U} A) ∩ (∁_{U} B)$ ；

(2)、若 $x ∈ A$ 是 $x ∈ B$ 的必要不充分条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ ( $a$ ， $b$ ， $c \in R$ )只能同时满足下列三个条件中的两个：① $y < 0$ 的解集为 ${x | - 1 < x < 3}$ ；② $a = - 1$ ；③ $y$ 的最小值为 $- 4$ ．

(1)、请写出满足题意的两个条件的序号，并求 $a$ ， $b$ ， $c$ 的值；

(2)、求关于 $x$ 的不等式 $y \geq (m - 2) x + 2 m^{2} - 3 (m \in R)$ 的解集．

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20. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + \frac{1}{x}$ ，其中 $a$ 为常数.

(1)、若 $a \in (\frac{1}{2} ， 1)$ ，判断函数 $y = f (x)$ 在 $x \in (1 ， 2)$ 上的单调性，并证明；

(2)、设 $g (x) = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} ，$ 则 $\frac{f (x)}{x} \leq g (x) + a + 1$ 在 $x \in [1 ， 5]$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 已知指数函数 $y = f (x) ， x \in R$ $.$ 若函数 $g (x) = k f (x)$ ，且满足： $g (0) = 3 ， \frac{g (0.5)}{g (0)} = 2 ， \frac{g (1)}{g (0.5)} = 2 ， \dots ， \frac{g (0.5 n)}{g (0.5 (n - 1))} = 2 ， n \in N^{*} .$

(1)、求指数函数 $y = f (x)$ 的解析式；

(2)、已知函数 $h (x) = {\begin{array}{l} f (x) - 4 (x < a^{2}) \\ x^{2} - 3 a x + 2 a^{2} (x \geq a^{2}) \end{array}$ ，若 $h (x) = 0$ 有两个不同的实根，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 近日，某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数 $f (x)$ 与空气污染指数 $p (x)$ 的关系为： $f (x) = p (x) | p (x) - k | + \frac{1}{4} (0 < x \leq 24)$ ，其中空气污染指数 $p (x)$ 与时刻 $x$ （小时）和 $\frac{1}{x}$ 的算术平均数成反比，且比例系数为 $\frac{1}{2}$ ， $k$ 是与气象有关的参数， $k \in (0 ， \frac{1}{2})$ ．

(1)、求空气污染指数 $p (x)$ 的解析式和最大值；

(2)、若用每天环境综合污染指数 $f (x)$ 的最大值作为当天的综合污染指数，该市规定：每天的综合污染指数最大值不得超过1．试问目前市中心的综合污染指数是否超标？请说明理由．

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