浙江省A9协作体2022-2023学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-11-14 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列元素与集合的关系中，正确的是（）

A、 $- 1 \in N$ B、 $0 \notin N^{*}$ C、 $\sqrt{2} \in Q$ D、 $π \in Z$

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2. 命题“ $\forall x \in R ， x + | x | \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R ， x + | x | \geq 0$ B、 $\exists x \in R ， x + | x | < 0$ C、 $\forall x \in R ， x + | x | \leq 0$ D、 $\forall x \in R ， x + | x | < 0$

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3. 已知实数 $a > b > 0$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $\frac{b}{a} > \frac{b + 1}{a + 1}$ B、 $a c^{2} > b c^{2}$ C、 $a - \frac{b}{a} > b - \frac{a}{b}$ D、 $\sqrt{a - b} + \sqrt{b} > 2 \sqrt{a}$

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4. 已知函数 $f (x) = | x - 3 | + | x - a |$ 的图像关于直线x＝1对称，则实数a的取值为（）

A、-1 B、1 C、-3 D、3

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5. 若 $x > m$ 是 $(x - 2021) (x - 2022) > 2$ 的充分不必要条件，则实数m的最小值是（）

A、2019 B、2020 C、2023 D、2024

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6. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 在 $[2 ， + \infty)$ 上单调递减，且满足 $f (x + 2) = f (- x + 2)$ ，则不等式 $f (x + 2) > f (2 x)$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， \frac{2}{3}) ∪ (2 ， + \infty)$ B、 $(\frac{2}{3} ， 2)$ C、 $(- \infty ， - 2) ∪ (2 ， + \infty)$ D、 $(- 2 ， 2)$

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | \frac{1}{x - 1} | \\ 1 ， (x = 1) \end{array} ， (x \neq 1) ，$ 关于x的方程 $f^{2} (x) + b f (x) + c = 0$ 有5个不同的实数根，则实数c的取值范围是（）

A、 $(0 ， 1) \cup (1 ， + \infty)$ B、 $(- ∞ ， - 2) \cup (- 2 ， - 1)$ C、 $(- \infty ， - 2) ∪ (0 ， 1)$ D、 $(- 2 ， - 1) ∪ (1 ， + \infty)$

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1} ， x \in (- 1 ， 0]$ 的值域是（）

A、 $(- 1 ， 0)$ B、 $[- 1 ， 0]$ C、 $(- 1 ， 0]$ D、 $[- 1 ， 0)$

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二、解答题

9. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{1 + | x |}$

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性并证明；

(2)、用分段函数的形式表示 $f (x)$ ．

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10. 已知幂函数 $f (x) = (2 m^{2} - 2 m - 3) x^{m}$ ．

(1)、若 $f (x)$ 的定义域为R，求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (x)$ 为奇函数， $\exists x \in [1 ， 2]$ ，使 $f (x) > 3 x + k - 1$ 成立，求实数k的取值范围．

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11. 已知集合A＝ ${x | 0 < a x + 1 < 4}$ ， B＝ ${x | \frac{x + 1}{x - 1} \geq 2}$

(1)、若 $2 \in A ， a \in N^{*}$ ，求 $∁_{R} A$ ；

(2)、若 $B \subseteq A ， a > 0$ ，求正数a的取值范围．

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12. 关于 $x$ 的不等式 $m x^{2} - m x > 2 x - 2$ ．

(1)、当m＞0时，求不等式 $m x^{2} - m x > 2 x - 2$ 的解集；

(2)、若对 $\forall m \in [- 1 ， 1]$ 不等式恒成立，求实数x的取值范围

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13. 新冠疫情零星散发，某实验中学为了保障师生的安全，拟借助校门口一侧原有墙体，建造一间高为4米，底面为24平方米，背面靠墙的长方体形状的隔离室．隔离室的正面需开一扇安全门，此门高为2米，高为底边长的 $\frac{1}{3}$ ．为节省费用，此室的后背靠墙，无需建造费用，只需粉饰．甲工程队给出的报价：正面为每平方米360元，左右两侧为每平方米300元，已有墙体粉饰每平方米100元，屋顶和地面报价共计12000元．设隔离室的左右两侧的长度均为x米( $1 \leq x \leq 5$ )．

(1)、记 $y$ 为甲工程队报价，求 $y = f (x)$ 的解析式；

(2)、现有乙工程队也要参与此隔离室建造的竞标，其给出的整体报价为 $\frac{4800 t (x + 1)}{x}$ 元，是否存在实数t，无论左右两侧长为多少，乙工程队都能竞标成功，若存在，求出t满足的条件；若不存在，请说明理由．

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14. 已知函数 $f (x) = a x - \sqrt{x} + b ， a ， b \in R$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $x \in [0 ， 4]$ 上是单调递减，求a的取值范围；

(2)、当 $a = 1$ 时，函数 $| f (x) |$ 在 $x \in [0 ， 4]$ 上的最大值记为 $g (b)$ ，试求 $g (b)$ 的最小值．

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三、多选题

15. 下列函数是偶函数，且在 $x \in (0 ， + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x}$ B、 $f (x) = | x |$ C、 $f (x) = (x + 1)^{2}$ D、 $f (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

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16. 已知 $a ， b$ 为正数，且 $2 a + b - 2 = 0$ ，则（）

A、 $0 < a < 1$ B、 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} ≥ 9$ C、 $1 < a^{2} + b^{2} < 4$ D、 $0 < a b \leq \frac{1}{2}$

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17. 一般地，设函数 $f (x)$ 的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个 $x \in D$ 都有 $x + T \in D$ ，且 $f (x + T) = f (x)$ ，称非零常数T是这个函数的周期．已知 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且满足 $f (x + 1)$ 为偶函数，且 $f (x)$ 不恒等于0，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称 B、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(1 ， 0)$ 对称 C、 $T = 4$ 是函数 $f (x)$ 的周期 D、 $f (2022) = 0$

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18. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 5 x + 6 ， x < 2 \\ - 2 x + 6 ， x \geq 2 \end{array}$ ，若 $f (m) = f (n) ， m < n$ ，记 $t_{1} = n - m ， t_{2} = n + m$ ，则（）

A、 $t_{1}$ 没有最小值 B、 $t_{1}$ 的最大值为 $\frac{9}{8}$ C、 $t_{2}$ 没有最大值 D、 $t_{2}$ 的最小值为3

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四、填空题

19. 已知 $f (x) = \sqrt{x} - 1$ ，则 $f (4)$ ＝；

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20. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x - 4}}{x - 5}$ 的定义域为.

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21. 已知集合 $A = {- 1 ， b ， a^{2}}$ ，集合 $B = {1 ， \frac{b}{a} ， a}$ ；若 $A = B$ ，则 $a + b =$ ；

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22. 已知函数 $f (x) = (x - 1) (a x^{2} + b x + 1) ， a \neq 0$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) \leq 0$ 恒成立，则实数b的取值范围是．

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