云南省昆明市嵩明县2022~2023学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-11-14 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则 $∁_{U} (A \cup B) =$ （）

A、{−2，3} B、{−2，2，3} C、{−2，−1，0，3} D、{−2，−1，0，2，3}

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2. 命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 2 x + 2 < 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 2 x + 2 \geq 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 2 x + 2 > 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 x + 2 \geq 0$ D、 $\forall x \notin R$ ， $x^{2} + 2 x + 2 > 0$

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 1 ， x ⩽ 1 ， \\ \frac{1}{x} ， x > 1 ， \end{array}$ 则 $f (f (- 1)) =$ （）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、 $- 1$

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4. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（　　）

A、 $y = x + 1$ B、 $y = x^{3}$ C、 $y = \frac{1}{x}$ D、 $y = x^{2}$

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5. 设 $x ∈ R$ ，则“ $x^{2} + x - 2 > 0$ ”是“ $1 < x < 5$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 用一段长为 $L$ 的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，则菜园的最大面积为（）

A、 $\frac{L^{2}}{8}$ B、 $\frac{L^{2}}{4}$ C、 $\frac{L^{2}}{2}$ D、 $L^{2}$

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7. 函数 $f (x) = - \frac{x}{x^{2} + 1}$ 的图像大致是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 若对任意 $x < 0$ ，不等式 $x + \frac{4}{x} \leq m^{2} + 5 m$ 恒成立，则实数m的取值范围是（）

A、 $[- 4 ， - 1]$ B、 $(- \infty ， 1] \cup [4 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 4] ∪ [- 1 ， + \infty)$ D、 $[1 ， 4]$

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二、多选题

9. 下列命题为真命题的是（）

A、若 $a > b, c < d$ ，则 $a - c > b - d$ B、若 $a > b > 0, c < d < 0$ ，则 $a c > b d$ C、若 $a > b > 0$ ，则 $\frac{1}{a^{2}} < \frac{1}{b^{2}}$ D、若 $a > b > c > 0$ ，则 $\frac{c}{a} < \frac{c}{b}$

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10. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $(- \infty ， - 2) ∪ (4 ， + \infty)$ ，则（）

A、 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根为 $- 2$ 和 $4$ B、函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ 的零点为 $2$ 和 $- 4$ C、 $a > 0$ D、 $c > 0$

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11. 已知 $x \geq 1$ ，则下列函数的最小值为 $2$ 的有（）

A、 $y = \frac{2}{x} + \frac{x}{2}$ B、 $y = 4 x + \frac{1}{x}$ C、 $y = - x^{2} + 2 x + 1$ D、 $y = x + \frac{4}{x + 1} - 1$

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12. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的图象是连续不断的，且满足以下条件： $① \forall x \in R ， f (- x) = f (x)$ ； $② \forall x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + ∞)$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ； $③ f (- 1) = 0$ .则下列选项成立的是（）

A、 $f (3) > f (- 4)$ B、若 $f (m - 1) < f (2)$ ，则 $m \in (- \infty ， 3)$ C、若 $\frac{f (x)}{x} > 0$ ，则 $x \in (- ∞ ， - 1) \cup (0 ， 1)$ D、 $\forall x \in R$ ， $\exists M \in R$ ，使得 $f (x) \leq M$

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{x}$ 的定义域为．

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14. 已知幂函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(2 ， 4)$ ，则 $f (3) =$ ．

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15. 已知函数 $f (x) = 2 x^{2} - k x + 4$ 在 $[5 ， 20]$ 上具有单调性，则实数 $k$ 的取值范围为．

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16. 设 $f (x)$ 是 $R$ 上的奇函数， $g (x)$ 是 $R$ 上的偶函数，若函数 $f (x) + g (x)$ 的值域为 $[- 1 ， 4)$ ，则 $f (x) - g (x)$ 的值域为

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | x^{2} + 2 x - 3 < 0}$ ， $B = {x | - 2 < x < 3}$ ．

(1)、求 $A \cap B$ ；

(2)、求 $(∁_{R} A) ∪ B$ ．

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18. 已知集合 $A = {x | - 2 \leq x \leq 6}$ ， $B = {x | 1 - m \leq x \leq 1 + m}$ ， $m > 0$ $.$ 请在①充分条件，②必要条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数 $m$ 存在，求出 $m$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．

(1)、若 $A \cup B = A$ ，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $x ∈ A$ 是 $x ∈ B$ 的______条件，判断实数 $m$ 是否存在？

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19.

(1)、已知 $a > b > 0$ ， $m > 0$ ，用作差法证明： $\frac{b}{a} < \frac{b + m}{a + m}$ ；

(2)、已知 $a$ ， $b$ 都是正数，求证 $(a + b) (a^{2} + b^{2}) (a^{3} + b^{3}) \geq 8 a^{3} b^{3}$ .

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} - 1}$ ．

(1)、判断 $f (x)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上的单调性并用定义法证明；

(2)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并求 $f (x)$ 在 $[- 3 ， - 2]$ 上的值域．

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21. 设函数 $f (x) = a x^{2} + (b - 2) x + 3$ ，且 $f (1) = 2$

(1)、若 $a > 0 ， b > 0$ ，求不等式 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值；

(2)、若 $f (x) > 1$ 在R上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 新冠肺炎期间，呼吸机成为紧缺设备，某企业在国家科技的支持下，进行设备升级，生产了一批新型的呼吸机.已知该种设备年固定研发成本为60万元，每生产一台需另投入100元，设该公司一年内生产该设备 $x$ 万台，且全部售完，由于产能原因，该设备产能最多为32万台，且每万台的销售收入 $f (x)$ （单位：万元）与年产量 $x$ （单位：万台）的函数关系式近似满足： $f (x) = {\begin{array}{l} 180 - 2 x ， 0 < x \leq 18 \\ 70 + \frac{2650}{x} - \frac{27000}{x^{2}} ， 18 < x \leq 32 \end{array}$

(1)、写出年利润 $W (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （万台）的函数解析式.（年利润=年销售收入-总成本）；

(2)、当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？

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