辽宁省沈阳市重点高中联合体2022-2023学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-11-14 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = (- \infty ， - 2] ∪ [3 ， + \infty)$ ， $Z$ 为整数集，则 $(∁_{R} A) ∩ Z =$ （）

A、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ B、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

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2. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 1 ， x \leq 2 ， \\ - \frac{2}{x} ， x > 2 ， \end{array}$ 则 $f (| - 3 |) =$ （）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、10 D、-8

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3. 若命题 $p ： x y < 0$ ，命题 $q ： x > 0$ ， $y < 0$ ，则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（）

A、 $f (x) = \frac{1}{| x - 1 |}$ B、 $f (x) = \frac{1}{| | x | - 1 |}$ C、 $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ D、 $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$

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5. 关于x的不等式 $\frac{3 x + a}{x - 1} \leq 1$ 的解集为 $[- \frac{5}{2} ， 1)$ ，则实数a的值为（）

A、 $- 6$ B、 $- \frac{7}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、4

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6. 若函数 $f (x) = \sqrt{a x^{2} + a x + 1}$ 的定义域为 $R$ ，则 $a$ 的范围是（）

A、 $[0 ， 4]$ B、 $[0 ， 4)$ C、 $(0 ， 4]$ D、 $(0 ， 4)$

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7. 若函数 $y = f (x)$ 的值域是 $[\frac{1}{2} ， 3]$ ，则函数 $F (x) = f (x) + \frac{1}{f (x)}$ 的值域是（）

A、 $[\frac{1}{2} ， 3]$ B、 $[2 ， \frac{10}{3}]$ C、 $[\frac{5}{2} ， \frac{10}{3}]$ D、 $[3 ， \frac{10}{3}]$

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8. 已知函数 $f (x + 1)$ 是R上的偶函数，当 $1 \leq x_{1} < x_{2}$ 时， $[f (x_{1}) - f (x_{2})] (x_{1} - x_{2}) < 0$ 恒成立.若 $a = f (- \frac{1}{2})$ ， $b = f (1)$ ， $c = f (\frac{3}{2})$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $b < a < c$ B、 $c < b < a$ C、 $b < c < a$ D、 $a < c < b$

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二、多选题

9. 下列各组函数是同一个函数的是（）

A、 $f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ 与 $g (s) = s^{2} + 2 s - 3$ B、 $f (x) = \sqrt{- x^{3}}$ 与 $g (x) = x \sqrt{- x}$ C、 $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ 与 $g (x) = \frac{1}{{| x |}^{2}}$ D、 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x + 1}$ 与 $g (x) = x - 1$

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10. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} + x + 5$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、函数 $g (x) = x f (x)$ 为奇函数 C、 $f (- 1) = - 7$ D、当 $x < 0$ 时， $f (x) = x^{2} - x - 5$

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11. 设 $a > 0 ， b > 0 ， a + b = 1$ ，则下列不等式中一定成立的是（）

A、 $a b ⩽ \frac{1}{4}$ B、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} ⩾ \sqrt{2}$ C、 $2^{a} + 2^{b} ⩾ 2 \sqrt{2}$ D、 $\frac{b}{a} + \frac{4}{b} ⩾ 8$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x ， x \leq 0 ， \\ - x^{2} + 2 x ， x > 0 ， \end{array}$ 若方程 $f^{2} (x) + b f (x) + \frac{1}{8} = 0$ 有六个不相等的实数根，则实数b可能的取值为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $- \frac{7}{8}$ D、 $- \frac{\sqrt{6}}{2}$

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三、填空题

13. 已知命题 $p ： \forall x \in R$ ， $| x + 3 | > 0$ ，则 $\neg p$ 是命题.（填“真”或“假”）

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14. 若 $a > b > 1$ ， $y_{1} = \frac{b}{a}$ ， $y_{2} = \frac{b - 1}{a - 1}$ ，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的大小关系是.

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15. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，若 $x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ ，则“ $x_{1} + x_{2} = 0$ ”是“ $f (x_{1}) - f (x_{2}) = 0$ ”的条件.

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16. 定义：如果函数 $y = f (x)$ 在定义域内给定区间 $[a, b]$ 上存在 $x_{0} (a < x_{0} < b)$ ，满足 $f (x_{0}) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ ，则称函数 $y = f (x)$ 是 $[a, b]$ 上的“平均值函数”， $x_{0}$ 是它的一个均值点，例如 $y = x^{2}$ 是 $[- 1, 1]$ 上的平均值函数，0就是它的均值点.现有函数 $f (x) = x^{3} + m x$ 是 $[- 1, 1]$ 上的平均值函数，则实数m的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 4 < 0}$ ， $B = {x | 0 \leq x - 1 \leq 2}$ .

(1)、求 $A \cup B$ ；

(2)、若集合 $C = {x | m - 1 \leq x \leq m + 1}$ ， $A \cap C = \emptyset$ ，求实数 $m$ 的取值集合.

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18. 已知函数 $f (x) = x^{2} - \frac{m}{| x |}$ 的图象经过点 $(1 ， 0)$ .

(1)、求m的值，并判断函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 的单调性，并证明你的结论.

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19. 若函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = x^{2} + 2 (1 - a) x - 2 a + 3$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 4]$ 上至少有一个零点，求实数a的取值范围.

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20. 已知 $f (x) = x^{2} - a x - 6 a$ ，其中a是常数.

(1)、若 $f (x) < 0$ 的解集是 ${x | - 3 < x < 6}$ ，求a的值，并求不等式 $f (x) \geq 0$ 的解集；

(2)、若不等式 $f (x) < 0$ 有解，且解区间的长度不超过5个单位长度，求实数a的取值范围.

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21. 大罗山位于温州市区东南部，由四景一水构成，它们分别是：仙岩景区､瑶溪景区､天桂寺景区､茶山景区和三烊湿地.某开发商计划2023年在三烊湿地景区开发新的游玩项目，全年需投入固定成本400万元，若该项目在2023年有x万名游客，则需另投入成本 $R (x)$ 万元，且 $R (x) = {\begin{array}{l} 50 ， 0 < x \leq 5 ， \\ x^{2} + 40 x + 200 ， 5 < x \leq 20 ， \\ 81 x + \frac{1600}{x} - 850 ， x > 20 ， \end{array}$ 该游玩项目的每张门票售价为80元.

(1)、求2023年该项目的利润 $W (x)$ （万元）关于游客数量x（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）.

(2)、当2023年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？

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22. 已知函数 $f (x) = x | x - 2 |$ .

(1)、在平面直角坐标系中画出函数 $f (x) = x | x - 2 |$ 的图象；

(2)、求函数 $f (x) - \frac{1}{2}$ 的零点；

(3)、若 $a > 0$ ，求 $f (x)$ 在 $[0 ， a]$ 上的最大值.

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