湖北省部分高中联考协作体2022-2023学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-11-14 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} < 5 ， x \in N}$ ，则集合 $A$ 的真子集有（）

A、3个 B、4个 C、7个 D、8个

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2. 设集合 $M = {x | - 1 \leq x < 5}$ ， $N = {x | | x | \leq 3}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 ${x | - 1 \leq x < 5}$ B、 ${x | - 3 \leq x < 5}$ C、 ${x | - 1 \leq x \leq 3}$ D、 ${x | - 3 \leq x \leq 3}$

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3. 若命题“ $\exists x \in R ， x^{2} - a x + 1 \leq 0$ ”是假命题，则实数a的取值范围是（）

A、 ${a | - 2 \leq a \leq 2}$ B、 ${a | a \leq - 2 或 a \geq 2}$ C、 ${a | a < - 2 或 a > 2}$ D、 ${a | - 2 < a < 2}$

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4. 已知 $p$ ： $- 4 < x - a < 4$ ， $q$ ： $(x - 2) (3 - x) > 0$ ，若 $\neg p$ 是 $\neg q$ 的充分条件，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1]$ B、 $[- 1 ， 6]$ C、 $(- \infty ， 1) ∪ [6 ， + \infty)$ D、 $[6 ， + \infty)$

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5. 已知正数 $x$ 、 $y$ 满足 $x + y = 1$ ，求 $\frac{1}{x} + \frac{4}{1 + y}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{14}{3}$ B、9 C、 $\frac{9}{2}$ D、4

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - a x - 5 ， x \leq 1 \\ \frac{a}{x} ， x > 1 \end{array}$ 是R上的增函数，则a的取值范围是（）

A、 $- 3 \leq a < 0$ B、 $- 3 \leq a \leq - 2$ C、 $a \leq - 2$ D、 $a < 0$

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7. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $(x_{1} ， 0)$ 与 $(x_{2} ， 0)$ ，其中 $x_{1} < x_{2}$ ，方程 $a x^{2} + b x + c + a = 0$ 的两根为 $m ， n (m < n)$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $m < n < x_{1} < x_{2}$ B、 $x_{1} < x_{2} < m < n$ C、 $x_{1} < m < n < x_{2}$ D、 $m < x_{1} < x_{2} < n$

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8. 已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} + 2 x + 1 ， 0 \leq x \leq 2 \\ x^{2} - 3 x + 3 ， x > 2 \end{array}$ ，如果关于 $x$ 的方程 ${[f (x)]}^{2} + n f (x) + m = 0$ 恰有7个不同的实数根，那么 $m - n$ 的值等于（）

A、5 B、－4 C、4 D、－5

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二、多选题

9. 已知集合 $A = {x ∣ x^{2} - 2 x - 3 = 0}$ ， $B = {x ∣ a x = 1}$ ，若 $B ⊆ A$ ，则实数a的可能取值（）

A、0 B、3 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- 1$

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10. 若函数 $y = f (x)$ 对定义域 $D$ 中的每一个 $x_{1}$ 都存在唯一的 $x_{2} \in D$ ，使 $f (x_{1}) \cdot f (x_{2}) = 1$ 成立，则称 $f (x)$ 为“影子函数”，以下说法正确的有（）

A、“影子函数” $f (x)$ 可以是奇函数 B、“影子函数” $f (x)$ 的值域可以是 $R$ C、函数 $f (x) = x^{2} (x > 0)$ 是“影子函数” D、若 $y = f (x)$ ， $y = g (x)$ 都是“影子函数”，且定义域相同，则 $y = f (x) \cdot g (x)$ 是“影子函数”

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11. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x \in Q \\ 0 ， x \in ∁_{R} Q \end{array}$ 被称为狄利克雷函数，其中 $R$ 为实数集， $Q$ 为有理数集，以下关于狄利克雷函数 $f (x)$ 的结论中，正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 为偶函数 B、函数 $f (x)$ 的值域是 ${0 ， 1}$ C、若 $T \neq 0$ 且 $T$ 为有理数，则 $f (x + T) = f (x)$ 对任意的 $x \in R$ 恒成立 D、在 $f (x)$ 图象上不存在不同的三个点 $A$ ， $B$ ， $C$ ，使得 $△ A B C$ 为等边三角形.

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x - e ， x \geq e \\ b - (x + \frac{a}{x}) ， 1 < x < e \end{array}$ 的最小值为0，（ $e$ 为自然常数， $e = 2.71818 \cdot \cdot \cdot$ ），则下列结论正确的是（）

A、若 $a \in (- 1 ， 0)$ ，则 $b \geq e + \frac{a}{e}$ B、若 $a \in (0 ， 1)$ ，则 $b \leq a + 1$ C、若 $a \in (- \infty ， - e^{2})$ ，则 $b < - e^{2} - \frac{a}{e^{2}}$ D、若 $a \in (e^{2} ， + ∞)$ ，则 $b \geq a + 1$

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三、填空题

13. 若集合 $A = {1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {x | x \subseteq A}$ ，则 $B =$ （用列举法表示），集合 $A$ 与集合 $B$ 的关系为：AB（填入适当的符号）.

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14. 若偶函数 $f (x)$ 在 $[0 ， + ∞)$ 上单调递减，且 $f (1) = 0$ ，则不等式 $f (x^{2} - 3 x - 3) \geq 0$ 的解集是.

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15. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (a - 1) x + 1 ， x \leq 1 ， \\ x^{2} - 2 a x + 6 ， x > 1 \end{array}$ 的值域为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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16. 设二次函数 $f (x) = m x^{2} - 2 x + n (m ， n \in R)$ ，若函数 $f (x)$ 的值域为 $[0 ， + ∞)$ ，且 $f (1) \leq 2$ ，则 $\frac{m^{2}}{n^{2} + 1} + \frac{n^{2}}{m^{2} + 1}$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 设全集为 $R$ ， $A = {x | a - 1 < x < 2 a}$ ， $B = {x | y = \sqrt{\frac{x - 6}{3 - x}}}$ .

(1)、若 $a = 5$ ，求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $A ≠ ∅$ ，是否存在实数 $a$ 使得 $x ∈ A$ 是 $x ∈ B$ 的________，存在求实数 $a$ 的取值范围，不存在请说明理由.
请在_________处从“①充分不必要条件”、“②必要不充分条件”中选择一个再作答.

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18. 已知 $m \in R$ ，命题p： $\forall x \in [0 ， 1]$ ， $x \geq m^{2} - 3 m$ 恒成立；命题q：存在 $x ∈ R$ ，使得 $- x^{2} + 2 x - m > 0$ .

(1)、若p为真命题，求m的取值范围；

(2)、若p，q有且只有一个真命题，求实数m的取值范围.

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19. 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）＝x²+4x+1．

(1)、求f（x）的解析式；

(2)、当x∈[t，t+1]（t＞0）时，求f（x）的最大值g（t），并求函数g（t）的最小值．

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20. 已知集合 $A = {a_{1} ， a_{2} ， ⋯ ， a_{n}} (0 \leq a_{1} < a_{2} < ⋯ < a_{n} ， n \in N^{*} ， n \geq 3)$ 具有性质 $P$ ：对任意 $i$ ， $j$ （ $1 \leq i \leq j \leq m$ ）， $a_{i} + a_{j}$ 与 $a_{j} - a_{i}$ 至少一个属于 $A$ .

(1)、分别判断集合 $M = {0 ， 2 ， 4}$ ，与 $N = {1 ， 2 ， 3}$ 是否具有性质 $P$ ，并说明理由；

(2)、证明： $0 \in A$ ；

(3)、 $A = {a_{1} ， a_{2} ， a_{3}}$ 具有性质 $P$ ，当 $a_{2} = 4$ 时，求集合 $A$ .

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ ， $g (x) = (a + 4) x - 3$ ， $a \in R$ .

(1)、若 $\exists x \in [- 1 ， 1]$ ，方程 $f (x) - m = 0$ 有解，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若对任意的 $x_{1} \in [1 ， 4]$ ，总存在 $x_{2} \in [1 ， 4]$ ，使得 $f (x_{1}) \leq g (x_{2})$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、设 $h (x) = | f (x) + g (x) |$ ，记 $M (a)$ 为函数 $h (x)$ 在 $[0 ， 1]$ 上的最大值，求 $M (a)$ 的最小值.

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22. 定义：若函数 $f (x)$ 对于其定义域内的某一数 $x_{0}$ ，有 $f (x_{0}) = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 是 $f (x)$ 的一个不动点，已知函数 $f (x) = a x^{2} + (b + 1) x + b - 1 (a \neq 0)$ .

(1)、当 $a = 1$ ， $b = - 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的不动点；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个不动点，且 $y = f (x)$ 图像上两个点 $A$ 、 $B$ 的横坐标恰是函数 $f (x)$ 的两个不动点，且 $A$ 、 $B$ 的中点 $C$ 在函数 $g (x) = - x + \frac{4 a}{5 a^{2} - 4 a + 1}$ 的图像上，求 $b$ 的最小值.（参考公式： $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 的中点坐标为 $(\frac{x_{1} + x_{2}}{2} ， \frac{y_{1} + y_{2}}{2})$ ）

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