黑龙江省齐齐哈尔市克东县“五校联谊”2022-2023学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-11-14 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 25 ， 5 x}$ ， $B = {1 ， x^{2}}$ ，若 $B ⊆ A$ ，则实数x＝（）

A、0 B、－5 C、0或－5 D、0或 $\pm 5$

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2. 函数 $y = \sqrt{2 - x} + \frac{1}{x + 1}$ 的定义域是（）

A、 $(- \infty ， - 1) ∪ (2 ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(- \infty ， - 1) \cup (- 1 ， 2)$ D、 $(- ∞ ， - 1) \cup (- 1 ， 2]$

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3. 设x＞0， $y ∈ R$ ，则“x＞y”是“ $x^{2} > y^{2}$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 设 $a + b < 0$ ，且 $b > 0$ ，则正确的是（）

A、 $- a b < b^{2} < a^{2}$ B、 $b^{2} < - a b < a^{2}$ C、 $a^{2} < b^{2} < - a b$ D、 $a^{2} < - a b < b^{2}$

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5. 若关于x的不等式 $k x^{2} + 2 k x - k + 1 > 0$ 的解集为 $R$ ，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2})$ B、 $[0 ， \frac{1}{2})$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $[0 ， 1)$

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6. 设函数 $f (1 + \frac{1}{x}) = 2 x + 1$ ，则 $f (x)$ 的表达式为（）

A、 $\frac{1 + x}{1 - x} (x \neq 1)$ B、 $\frac{1 + x}{x - 1} (x \neq 1)$ C、 $\frac{1 - x}{1 + x} (x \neq - 1)$ D、 $\frac{2 x}{x + 1} (x \neq - 1)$

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7. 设x，y均为正实数，且 $\frac{3}{2 + x} + \frac{3}{2 + y} = 1$ ，则x＋y＋4的最小值为（）

A、12 B、20 C、13 D、10

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8. 已知函数 $y = x^{2} + a x + b$ （ $a ， b \in R$ ）的最小值为0，若关于x的不等式 $x^{2} + a x + b < c$ 的解集为 ${x | m < x < m + 4}$ ，则实数c的值为（）

A、9 B、8 C、6 D、4

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二、多选题

9. 以下函数中 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 为同一函数的是（）

A、 $f (x) = 2 x + 1 (x > 0)$ 和 $g (x) = 2 x + 1 (x < 0)$ B、 $f (x) = | 2 x + 1 | (x > 0)$ 和 $g (x) = 2 x + 1 (x > 0)$ C、 $f (x) = \sqrt{{(x - 2)}^{2}}$ 和 $g (x) = x - 2$ D、 $f (x) = {(\sqrt{x + 2})}^{2}$ 和 $g (x) = x + 2 (x \geq - 2)$

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10. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | - 2 \leq x \leq 7}$ ， $B = {x | m + 1 \leq x \leq 2 m - 1}$ ，则使 $A \subseteq ∁_{U} B$ 成立的实数 $m$ 的取值范围可以是（　　）

A、 ${m | 6 < m \leq 10}$ B、 ${m | - 2 < m < 2}$ C、 ${m | - 2 < m < - \frac{1}{2}}$ D、 ${m | 5 < m \leq 8}$

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11. 设 $a$ ， $b$ 为正实数，则下列命题中是真命题的是（）

A、若 $a^{2} - b^{2} = 1$ ，则 $a - b < 1$ B、若 $\frac{1}{b} - \frac{1}{a} = 1$ ，则 $a - b < 1$ C、若 $| \sqrt{a} - \sqrt{b} | = 1$ ，则 $| a - b | < 1$ D、若 $| a | ⩽ 1$ ， $| b | ⩽ 1$ ，则 $| a - b | ⩽ | 1 - a b |$

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12. 已知关于 $x$ 的不等式 $a \leq \frac{3}{4} x^{2} - 3 x + 4 \leq b$ ，下列结论正确的是（）

A、当 $a < b < 1$ 时，不等式 $a \leq \frac{3}{4} x^{2} - 3 x + 4 \leq b$ 的解集为 $\emptyset$ B、当 $a = 1 ， b = 4$ 时，不等式 $a \leq \frac{3}{4} x^{2} - 3 x + 4 \leq b$ 的解集为 ${x | 0 \leq x \leq 4}$ C、不等式 $a \leq \frac{3}{4} x^{2} - 3 x + 4 \leq b$ 的解集恰好为 ${x | a \leq x \leq b}$ ，那么 $b = \frac{4}{3}$ D、不等式 $a \leq \frac{3}{4} x^{2} - 3 x + 4 \leq b$ 的解集恰好为 ${x | a \leq x \leq b}$ ，那么 $b - a = 4$

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三、填空题

13. 已知集合 $M = {(x ， y) | 2 x - 3 y = 9}$ ， $N = {(x ， y) | 3 x + 2 y = 7}$ ，那么集合 $M \cap N =$ ．

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14. 设a， $b \in R$ ，则不等式a＞b， $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ 同时成立的充分必要条件是．

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15. 如表定义函数 $f (x)$ ， $g (x)$ ：
$x$
2
0
1
8
$f (x)$
0
1
2
8
$g (x)$
8
2
0
1
则满足 $f (g (x)) > g (8)$ 的 $x$ 的取值构成的集合是．

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16. 已知 $x > y > 0$ ，若 $x^{2} + \frac{2}{x^{2}} = y^{2} + \frac{2}{y^{2}}$ ，则 $x + \sqrt{2} y$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 在① $A \cap B = {3}$ ， ② $A ∩ B = {6}$ ， ③ $A ∩ B = {3 ， 6}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的集合 $B$ 存在，求 $a$ 的值；若问题中的集合 $B$ 不存在，说明理由．
问题：是否存在集合 $B$ ，使得 $A = {1 ， 3 ， a^{2} + 3 a - 4}$ ， $B = {0 ， 6 ， a^{2} + 4 a - 2 ， a + 3}$ ，且_______？

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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18. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | \frac{2 x - 10}{x - 8} \leq 1}$ ， $B = {x | x^{2} - 6 x \leq 0}$ ．

(1)、求 $A \cap B$ ， $A \cup B$ ， $(∁_{U} A) \cap B$ ；

(2)、若集合 $C = {x | x > 3 a - 4}$ ， $A \subseteq C$ ，求a的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{x} ， x < 0 \\ x^{2} - 2 x ， 0 \leq x < 3 \\ - x + 6 ， x \geq 3 \end{array}$

(1)、求 $f (f (1))$ 的值；

(2)、若 $f (a) = 2$ ，求 $a$ 的值；

(3)、请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数 $f (x)$ 的定义域和值域．

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20. 已知“方程mx²+4x+1=0有两个不相等的实根”是真命题.

(1)、求实数m的取值集合M；

(2)、设A={x|a<x<a+2}，若x∈A是x∈M的充分条件，求实数a的取值范围.

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21. 某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米宽的通道，沿前侧内墙保留3米宽的空地．

(1)、设矩形温室的一边长为 $x$ 米，请用 $S$ 表示蔬菜的种植面积，并求出 $x$ 的取值范围；

(2)、当矩形温室的长、宽各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积为多少．

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22. 定义区间 $(m ， n)$ 、 $[m ， n]$ 、 $(m ， n]$ 、 $[m ， n)$ 的长度均为n－m，其中n＞m．

(1)、若不等式组 ${\begin{array}{l} x^{2} - 6 x \leq 0 ， \\ x^{2} + 3 t x - 4 \leq 0 ， \end{array}$ 的解集构成的各区间的长度和等于6，求实数t的范围；

(2)、已知实数a＞0，求满足 $\frac{1}{x - a} + \frac{1}{x} \geq 1$ 的x构成的各区间的长度之和．

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$x$	2	0	1	8
$f (x)$	0	1	2	8
$g (x)$	8	2	0	1