贵州省黔东南六校联盟2022-2023学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-11-14 类型：期中考试

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一、单选题

1. 2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”寓意创造非凡、探索未来；北京冬残奥会吉祥物“雪容融”寓意点亮梦想、温暖世界．这两个吉祥物的中文名字中的汉字组成集合M，则M中元素的个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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2. 已知 $x > 0$ ，则 $x + \frac{4}{x}$ 的最小值是（）

A、4 B、6 C、8 D、16

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3. 已知函数 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ ，则 $f (- 2022) + f (2022)$ 的值是（）

A、－2022 B、0 C、1 D、2022

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4. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x - 1}}{x^{2} - 3}$ 的定义域为（）

A、（1，＋∞） B、[1，＋∞） C、（1， $\sqrt{3}$ ） D、 $[1 ， \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3} ， + ∞)$

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5. 已知 $f (x) = x^{2} + | x | + 1$ ，若 $f (2 m - 1) < f (3)$ ，则实数m的取值范围是（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(- 2 ， 1)$ D、 $(- 2 ， 2)$

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6. 已知“ $\forall x \in R ， x^{2} + (a - 2) x + \frac{a^{2}}{4} > 0$ ”是真命题，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 ${a ∣ a < 0}$ B、 ${a ∣ 0 < a \leq 1}$ C、 ${a ∣ a > 1}$ D、 ${a ∣ a \geq 1}$

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7. 已知函数 $f (x - 2)$ 是偶函数，当 $x_{1} < x_{2} < - 2$ 时， $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} > 0$ 恒成立，设 $a = f (- \frac{5}{2})$ ， $b = f (- 1)$ ， $c = f (2)$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $b < a < c$ B、 $c < b < a$ C、 $b < c < a$ D、 $a < b < c$

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8. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 $4 x^{2} + y^{2} + x y = 1$ ，且不等式 $2 x + y - t < 0$ 恒成立，则实数 $t$ 的取值范围为（）

A、 $t > \frac{5}{8}$ B、 $t > \frac{2 \sqrt{10}}{5}$ C、 $t > \frac{\sqrt{10}}{4}$ D、 $t > \frac{8}{5}$

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二、多选题

9. 下列各组函数中，是同一个函数的有（）

A、 $f (x) = \frac{1}{x}$ 与 $g (x) = \frac{x}{x^{2}}$ B、 $f (x) = x^{2}$ 与 $g (x) = {(x + 1)}^{2}$ C、 $f (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$ 与 $g (x) = | x |$ D、 $f (x) = x$ 与 $g (x) = \sqrt[3]{x^{3}}$

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10. $f (x) = {\begin{array}{l} x + 2 ， x ⩽ 0 \\ \frac{1}{x} ， 0 < x < 2 \\ - x^{2} + 4 x - 3 ， x ⩾ 2 \end{array}$ ，且 $f (a) = \frac{3}{4}$ ，则实数a的值为（）

A、－ $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{5}{2}$

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11. 已知函数 $f (x) = x^{a}$ 的图象经过点 $(3 ， \frac{1}{3})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象经过点 $(9 ， \frac{1}{9})$ B、 $f (x)$ 的图象关于y轴对称 C、 $f (x)$ 在定义域上单调递减 D、 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 内的值域为 $(0 ， + ∞)$

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12. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x - 1}$ ， $g (x) = \sqrt{2 - x}$ ，则下列说法中正确的是（）

A、函数 $y = f (x) + g (x)$ 的定义域为 $[1 ， 2]$ B、函数 $y = 2 f (x) + g^{2} (x)$ 的值域为 $(- \infty ， 2]$ C、函数 $y = f (x) + g (x)$ 的最大值为2 D、函数 $y = {[\frac{f (x)}{g (x)}]}^{2}$ 在 $(1 ， 2)$ 上单调递增

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三、填空题

13. 命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} - x + 4 \geq 0$ ”的否定为.

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14. 已知集合 $P = {0 ， 1 ， 2} ， Q = {x ∣ x > 0}$ ，则 $P ∩ Q$ 的子集的个数为.

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15. 已知 $f (x + 1)$ 的定义域为 $[- 1 ， 2]$ ，则 $f (2 x - 1)$ 的定义域为．

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16. 已知 $α ， β (α < β)$ 是关于 $x$ 的二次方程 $(x - a) (x - b) + 2 = 0 (a < b)$ 的两根，则 $α ， β ， a ， b$ 的大小关系是.

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四、解答题

17. 求解下列问题：

(1)、已知 $a \in R$ ，比较 $(a + 3) (a + 7)$ 和 $(a + 4) (a + 6)$ 的大小；

(2)、已知 $x < y < 0$ ，比较 $\frac{1}{x}$ 与 $\frac{1}{y}$ 的大小.

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18. 已知集合 $A = {x | - 4 \leq x \leq 3}$ ，集合 $B = x {| 1 + m \leq x \leq 3 m - 1}$ ．

(1)、当 $m = \frac{4}{3}$ 时，求 $A \cap ∁_{R} B$ ；

(2)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数m的范围．

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19. 求下列函数的解析式：

(1)、已知 $f (x) + 3 f (\frac{1}{x}) = x$ ，求 $f (x)$ ；

(2)、已知函数 $f (x)$ 是二次函数，且 $f (x + 1) - f (x) = 4 x + 3 ， f (1) = 1$ ，求 $f (x)$ .

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{a} - \frac{1}{x} (a \neq 0 ， x < 0)$ ．

(1)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，并用定义法证明；

(2)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 5 ， - 3]$ 上的最大值和最小值．

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21. 若关于x的不等式 $x^{2} - m x - n < 0$ 的解集是 ${x ∣ - 1 < x < 2}$ ．

(1)、求不等式 $- n x^{2} + m x + 1 > 0$ 的解集；

(2)、已知两个正实数x，y满足 $\frac{m}{x} + \frac{n}{y} = 1$ ，并且 $x + 2 y \geq a^{2} - 2 a$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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22. 对于定义在D上的函数 $f (x)$ ，若存在实数m，n且m＜n，使得 $f (x)$ 在区间 $[m ， n]$ 上的最大值为 $\frac{2}{m}$ ，最小值为 $\frac{2}{n}$ ，则称 $[m ， n]$ 为 $f (x)$ 的一个“保值区间”．已知函数 $g (x)$ 是定义在R上的奇函数，当 $x \in (0 ， + ∞)$ ）时， $g (x) = - x + 3$ ．

(1)、求函数 $g (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $g (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 内的“保值区间”；

(3)、若以函数 $g (x)$ 在定义域内所有“保值区间”上的图象作为函数 $y = h (x)$ 的图象，求函数 $y = h (x)$ 的值域．

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