吉林省白城市通榆县2022-2023学年第一学期九年级第二次阶段考试数学试题

试卷更新日期：2022-11-14 类型：期中考试

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一、单项选择题(每小题2分，共12分)

1. 2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园。六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 若关于x的方程x²+4x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是（）

A、4 B、-4 C、16 D、-16

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3. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=70°，则∠BCD的度数是（）

A、90° B、100° C、110° D、120°

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4. 如图，OA、OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，若∠AOB=80°，则∠ACB的度数为（）

A、30° B、40° C、50° D、60°

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5. 已知函数y=ax²+bx+3的图象如图所示，则a，b的值可能是（）

A、a=1，b=2 B、a=1，b=-2 C、a=-1，b=2 D、a=-1，b=-2

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6. 2022年北京冬奥会女子冰壶比赛，有若干支队伍参加了单循环比赛(每两队之间都赛一场)，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？设共有x支队伍参加比赛，则所列方程为（）

A、x(x+1)=45 B、 $\frac{x (x + 1)}{2}$ =45 C、x(x-1)=45 D、 $\frac{x (x - 1)}{2}$ =45

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二、填空题(每小题3分，共24分)

7. 一元二次方程x²-1=0的两根分别为。

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8. 点M(1，-2)关于原点对称的点的坐标是。

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9. 若x=1是一元二次方程x²-2x+m=0的根，则m的值为。

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10. 抛物线y=2(x+2)²的顶点坐标是。

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11. 如图，在⊙O中，点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外，若OA=3，OC=5，则OB的长度可能为(写出一个即可)

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12. 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转35°，得到矩形AB'C'D'，则∠a=°。

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13. 在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法所作EF将矩形窗框ABCD分为上、下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE²=AE·AB，已知AB为2米，则线段BE的长为米(结果保留根号)．

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14. 如图，点B，E在半圆O上，四边形OABC，四边形ODEF均为矩形．若AB=3，BC=4，则DF的长为。

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三、解答题(每小题5分，共20分)

15. 解方程：x²-4x-8=0．

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16. 已知关于x的一元二次方程x²+3x+k-2=0有实数根，求实数k的取值范围。

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17. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点D是△ABC内的一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接BD、CE．求证：BD=CE．

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18. 如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系：h=-5t²+20t，求小球飞行高度达到最高时的飞行时间．

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四、解答题(每小题7分，共28分)

19. 图①、图②都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，请在给定的网格中分别按要求画图．

(1)、在图①中，找一个格点C，使以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形．

(2)、在图②中，找两个格点D，E，使以点A，B，D，E为顶点的四边形是中心对称图形．

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20. 如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，∠APD=65°．

(1)、求∠DAB的大小．

(2)、若AD=6，则圆心O到BD的距离为。

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21. 石拱桥是我国古化人民勤劳和w放的结品(如图①)，隋化建造的赵州桥览今约有1400年的历史，是我国古代石拱桥的代表，如图②是根据某石供桥的实物图两出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为 $\overset{⌢}{A B}$ ，桥的跨度(弧所对的弦长)AB=26m，设 $\overset{⌢}{A B}$ 所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，重足为点D，拱高(弧的中点到弦的距离)CD=5m，连接OB．

(1)、直接写出AD与BD的数量关系，

(2)、求这座石拱桥主桥拱的半径，(结果精确到1m)

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22. 如图，隧道的截面由抛物线APB和矩形AMNB构成，矩形的长MN为8m，宽AM为2m，以MN所在的直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点P到坐标原点O的距离为6m．

(1)、求抛物线的解析式．

(2)、如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高4.2m，宽2.4m，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．

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五、解答题(每小题8分，共16分)

23. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，延长BA交⊙O于点F．

(1)、求证：DE是⊙O的切线．

(2)、若DE=2，AF=3，直接写出AE的长．

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24. 阅读与思考：下面是小明同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．
用函数观点认识一元二次方程根的情况

我们知道，一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根就是相应的二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像(抛物线)与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况．

下面根据抛物线的顶点坐标( $- \frac{b}{2 a}$ ， $\frac{4 a c - b^{2}}{4 a}$ ）和一元二次方程根的判别式△=b²-4ac，分a>0和a<0两种情况进行分析：
当a>0时，抛物线开口向上．

①当△=b²-4ac>0时，有4ac-b²<0．

∵a>0，∴顶点纵坐标 $\frac{4 a c - b^{2}}{4 a}$ <0，

∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点(如图①)，

∴一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根．

②当△=b²-4ac=0时，有4ac-b²=0．

∵a>0，∴顶点纵坐标 $\frac{4 a c - b^{2}}{4 a}$ =0，

∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点(如图②)，

∴一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根，

③当△=b²-4ac<0……
当a<0时，抛物线开口向下．

……

任务：

(1)、上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是(从下面选项中选出两个即可)
A．数形结合

B．统计思想

C．分类讨论

D．转化思想

(2)、请参照小论文中当a>0时①②的分析过程，写出③中当a>0，△<0时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图．

(3)、实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解，请你再举出一例．

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六、解答题(每小题10分，共20分)

25.

(1)、如图①，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，点C在OA上，点D在线段BO的延长线上，连接AD、BC．线段AD与BC的数量关系为

(2)、如图②，将图①中的△COD绕点O顺时针旋转a(0°<a<90°)，第(1)问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；若不成立，说明理由．

(3)、如图③，若AB=5，点C是线段AB外一动点，AC=3，连接BC，将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连接AD，解答下列问题．
①当点C落在线段AD上时，AD的长为
②直接写出AD长度的最大值和最小值．

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26. 已知抛物线y=-x²+bx+c(b，c为常数)经过点(0，-3)、(-6，-3)．

(1)、求此抛物线的解析式．

(2)、此抛物线的顶点坐标为

(3)、当-4≤x≤0时，求y的最大值和最小值．

(4)、当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，直接写出m的值．

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