高中数学人教A版（2019）必修一第四章第二节指数函数（二）

试卷更新日期：2022-11-12 类型：同步测试

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一、单选题

1. 已知函数 $f (x) = x^{2} - (a + b) x + a b$ 满足 $f (1) < 0$ （其中 $0 < a < b$ ），则函数 $g (x) = a^{x} + b - 1$ 的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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2. 函数 $y = 3^{- x}$ 与函数 $y = - 3^{x}$ 的图象（）

A、关于x轴对称 B、关于y轴对称 C、关于原点对称 D、关于直线 $y = x$ 对称

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3. “ $b > a + 1$ ”是 $3^{b} > 3^{a}$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 若 ${(\frac{1}{2})}^{2 a + 1} > {(\frac{1}{2})}^{4 - a}$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(3 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 3)$

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5. 指数函数 $y = {(\frac{b}{a})}^{x}$ 的图象如图所示，则二次函数 $y = a x^{2} + b x$ 图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 若 ${(\frac{1}{3})}^{2 a + 1} > {(\frac{1}{3})}^{4 - a}$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(3 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 3)$

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二、解答题

7. 已知函数 $f (x) = 2^{x}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 1]$ 上的最大值和最小值；

(2)、若方程 $f (x) = a$ 在区间 $(0 ， 1)$ 内有解，求实数 $a$ 的取值范围.

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{3^{x} - m}{3^{x} + m}$ 是定义在R上的奇函数（其中实数 $m > 0$ ）．

(1)、求实数m的值；

(2)、试判断函数的单调性，并求不等式 $f (2^{x^{2} - 1}) < \frac{1}{2}$ 的解集．（无需证明单调性）

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9. 已知函数 $f (x) = a \cdot 4^{x} - 3 \cdot 2^{x} - 1$ ， $(a \in R)$

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $x \in [0 ， 2]$ 的值域

(2)、若关于x的方程 $f (x) = (1 - a) \cdot 2^{x} + 3$ 有解，求a的取值范围．

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10. 已知 $f (x) = 2^{x} + a \cdot 2^{- x}$ 是 $(- ∞ ， 0) ∪ (0 ， + \infty)$ 上的奇函数．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f^{2} (x) > k f (2 x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上有解，求实数 $k$ 的取值范围．

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11. 已知函数 $f (x) = a^{x} - 1$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）满足 $f (1) + f (2) = - \frac{14}{9}$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、解不等式 $f (x) > 2$ .

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12. 已知函数 $f (x) = (k + 3) \cdot a^{x} + 3 - b$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）是指数函数．

(1)、求k，b的值：

(2)、求解不等式 $f (2 x - 7) > f (4 x - 3)$ ．

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13. 已知函数 $f (x) = 2^{| x - 1 |}$ .

(1)、求不等式 $f (x) \leq 4^{x}$ 的解集；

(2)、求 $y = f (x) + f (x + 4)$ 的最小值.

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14. 已知奇函数 $f (x) = a - \frac{4}{3^{x} + 1} (x \in R)$ ．

(1)、求实数a的值；

(2)、对任意的 $x \in R$ ，不等式 $f (x) \leq 2 + 3^{x} - t$ 恒成立，求实数t的最大值．

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15. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x) = \frac{1}{2^{x} + a} - \frac{1}{2}$ .

(1)、求 $a$ 的值，并判断 $f (x)$ 的单调性（不必证明）；

(2)、若对任意的 $x \in [1 ， 4]$ ，不等式 $f (k x - 4) + f (2 x - x^{2}) > 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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16. 已知函数 $f (x) = a^{x - \frac{1}{2}}$ 的图象经过点 $(1 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求函数 $y = f (x) (0 \leq x \leq 1)$ 的值域．

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17. 已知函数 $f (x) = a^{3 x + 1}$ ， $g (x) = {(\frac{1}{a})}^{5 - 2 x}$ ，其中 $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ．

(1)、若 $0 < a < 1$ ，求不等式 $f (x) < 1$ 的解集；

(2)、求不等式 $f (x) \geq g (x)$ 的解集．

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18. 已知函数 $f (x) = 2 \times 4^{x + 1} - a \cdot 2^{x} + 1$ .

(1)、若 $a = 6$ ，求不等式 $f (x) < 0$ 的解集；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = 0$ 有解，求 $a$ 的取值范围.

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一、单选题

二、解答题

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