辽宁省沈阳市重点高中联合体2022-2023学年高三上学期数学期中检测试卷

试卷更新日期：2022-11-11 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 x \geq 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${2 ， 3}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${1 ， 3}$ D、 ${1 ， 2 ， 3}$

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2. 已知复数 $z = \frac{2 - i}{i}$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、2 B、 $2 i$ C、 $- 2$ D、 $- 2 i$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 0)$ ， $\vec{b} = (\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，则 $\vec{b} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) =$ （）

A、3 B、 $1 + \sqrt{3}$ C、1 D、0

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4. 荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.“这句来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”是“至千里”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸 $B$ ， $C$ 的俯角分别为75°，30°，若河流的宽度 $B C$ 是60，则此时气球的高度等于（）

A、 $15 (\sqrt{3} - 1)$ B、 $15 (\sqrt{3} + 1)$ C、 $30 (\sqrt{3} - 1)$ D、 $30 (\sqrt{3} + 1)$

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6. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和．若 $S_{10} < 0 ， a_{3} + a_{7} > 0$ ，则当 $S_{n}$ 取最大值时， $n$ 的值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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7. 已知函数 $y = f (x)$ 在定义域 $(- \frac{3}{2} ， 3)$ 内可导，其图象如图所示.记 $y = f (x)$ 的导函数为 $y = f^{'} (x)$ ，则不等式 $x f^{'} (x) \leq 0$ 的解集为（）

A、 $(- \frac{3}{2} ， - \frac{1}{3}] \cup [0 ， 1] \cup [2 ， 3)$ B、 $[- \frac{1}{3} ， 0] \cup [1 ， 2] \cup [\frac{8}{3} ， 3)$ C、 $[- \frac{1}{3} ， 1] ∪ [2 ， 3)$ D、 $(- \frac{3}{2} ， - \frac{1}{3}) \cup [\frac{1}{2} ， \frac{4}{3}] \cup [\frac{8}{3} ， 3)$

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8. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (2) = 1$ ，若 $f (x - 2)$ 的图像关于点 $(2 ， 0)$ 对称，且函数 $f (x) - 2 x$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上单调递减，则不等式 $f (x - 1) > 2 x + 1$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， - 1)$ B、 $(- 2 ， + \infty)$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $(2 ， + ∞)$

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二、多选题

9. 已知 $a$ ， $b \in R$ ，则下列叙述中正确的是（）

A、“ $a > 1$ ”是“ $a^{2} > a$ ”的充分不必要条件 B、若函数 $y = x + \frac{m}{x - 2} (x > 2 ， m > 0)$ 的最小值为6，则 $m$ 的值为4 C、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、若向量 $\vec{a} / / \vec{b}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{c}$

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10. 函数 $y = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 在一个周期内的图象如图所示，则（）．

A、该函数的解析式为 $y = 2 s i n (\frac{2}{3} x + \frac{π}{3})$ B、该函数图象的对称中心为 $(k π - \frac{π}{3} ， 0)$ ， $k ∈ Z$ C、该函数的单调递增区间是 $(3 k π - \frac{5 π}{4} ， 3 k π + \frac{π}{4})$ ， $k ∈ Z$ D、把函数 $y = 2 s i n (x + \frac{π}{3})$ 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 $\frac{3}{2}$ 倍，纵坐标不变，可得到该函数图象

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11. 在R上定义运算： $(\begin{array}{l} a b \\ c d \end{array}) = a d - b c$ ，若不等式 $(\begin{array}{l} x - 1 a - 2 \\ a + 1 x \end{array}) \geq 1$ 对任意实数 $x$ 恒成立，则实数 $a$ 的可能取值为（）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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12. 关于函数 $f (x) = | l n | 2 - x | |$ ，下列描述正确的有（）

A、 $f (x)$ 在区间 $(1 ， 2)$ 上单调递增 B、 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称 C、若 $x_{1} \neq x_{2} ， f (x_{1}) = f (x_{2}) ，$ 则 $x_{1} + x_{2} = 4$ D、 $f (x)$ 有且仅有两个零点

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三、填空题

13. 命题“ $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0} + \frac{1}{x_{0}} > 2$ ”的否定是．

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14. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比 $q > 1$ ，若 $a_{1}$ ， $a_{2}$ 是函数 $f (x) = 6 l n x + \frac{1}{2} x^{2} - 5 x$ 的极值点，则 $a_{4} =$ ．

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15. 在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 是边 $B C$ 上（不包含顶点）的动点，若 $\vec{A D} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值.

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16. 如图是构造无理数的一种方法：线段 $O A_{1} = 1$ ；第一步，以线段 $O A_{1}$ 为直角边作直角三角形 $O A_{1} A_{2}$ ，其中 $A_{1} A_{2} = 1$ ；第二步，以 $O A_{2}$ 为直角边作直角三角形 $O A_{2} A_{3}$ ，其中 $A_{2} A_{3} = 1$ ；第三步，以 $O A_{3}$ 为直角边作直角三角形 $O A_{3} A_{4}$ ，其中 $A_{3} A_{4} = 1$ ；．．．，如此延续下去，可以得到长度为无理数的一系列线段，如 $O A_{2}$ ， $O A_{3}$ ，．．．，则 $\vec{O A_{2}} \cdot \vec{O A_{4}} =$ ．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} - 1$ ， $n \in N *$ ．

(1)、设 $b_{n} = a_{n} - 1$ ，求证：数列 ${b_{n}}$ 是等比数列，并求其通项公式；

(2)、设 $T_{n} = l o g_{2} b_{1} + l o g_{2} b_{2} + ⋯ + l o g_{2} b_{n}$ ，求 $T_{100}$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} s i n x c o s x - 2 c o s^{2} x + 3$ ， $x \in R$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最大值和最小正周期；

(2)、设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $c = \sqrt{3}$ ， $f (C) = 4$ ．若 $s i n A = 2 s i n B$ ，求 $a$ ， $b$ 的值．

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19. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + c x + d (a \neq 0)$ 是R上的奇函数，当 $x = 2$ 时， $f (x)$ 取得极值 $- 16$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间和极大值；

(2)、证明：对任意 $x_{1} ， x_{2} \in [- 1 ， 1]$ ，不等式 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | \leq 22$ 恒成立.

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20. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， ${b_{n}}$ 为等比数列， ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 3 \cdot 2^{n} - 3$ ， $a_{1} = b_{1}$ ， $a_{7} + a_{16} = b_{5}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $c_{n} = \frac{a_{n} - 1}{b_{n}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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21. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足 $b c o s \frac{B + C}{2} = a s i n B$ .

(1)、求A；

(2)、若 $a = \sqrt{19}$ ， $\vec{B A} \cdot \vec{A C} = 3$ ， AD是 $△ A B C$ 的中线，求AD的长.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{3 x}{x + 3}$ ， $g (x) = 2 b s i n \frac{x}{2} c o s \frac{x}{2}$ ，曲线 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 在原点处有相同的切线.

(1)、求 $b$ 的值；

(2)、判断函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 在 $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ 上零点的个数，并说明理由.

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