江苏省泰州市泰兴市2022-2023学年高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-11-11 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {y | y = x - | x | ， x \in R}$ ， $B = {y | y = (\frac{1}{2})^{x} ， x \in R}$ ，则（）

A、 $B ⊆ A$ B、 $A = B$ C、 $A ∩ B ≠ ∅$ D、 $A = ∁_{R} B$

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2. 已知 $α$ ， $β$ 为两个不同平面， $l$ 为直线且 $l ⊥ β$ ，则“ $l / / α$ ”是“ $α ⊥ β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 3)$ ， $\vec{b} = (2 ， - 4)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $(\vec{a} + \vec{b}) / / \vec{a}$ B、 $| 2 \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{10}$ C、向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 的投影向量是 $(1 ， 3)$

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4. 有一个内角为 $3 6^{∘}$ 的等腰三角形被称为黄金三角形，它的较短边与较长边之比为黄金分割比 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ．由上述信息可求得 $s i n 23 4^{∘}$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ C、 $\frac{- \sqrt{5} - 1}{4}$ D、 $\frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

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5. 已知函数 $f (x) = s i n x$ ， $g (x) = l n (\sqrt{x^{2} + 1} + x)$ ， $H (x)$ 的解析式是由函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的解析式组合而成，函数 $H (x)$ 部分图象如下图所示，则 $H (x)$ 解析式可能为（）

A、 $f (x) + g (x)$ B、 $f (x) - g (x)$ C、 $f (x) \cdot g (x)$ D、 $\frac{f (x)}{g (x)}$

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6. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $φ \in (0 ， \frac{π}{2})$ ），直线 $x = \frac{π}{12}$ 和点 $(- \frac{π}{6} ， 0)$ 分别是 $f (x)$ 图象相邻的对称轴和对称中心，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x + \frac{π}{12})$ 为奇函数 B、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{3} ， 0)$ 对称 C、函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{4}]$ 上为单调函数 D、函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 6 π]$ 上有12个零点

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7. 已知直线 $l_{1} ： m x - y - 3 m + 1 = 0$ 与直线 $l_{2} ： x + m y - 3 m - 1 = 0$ 相交于点 $P$ ， $m \in R$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $l_{1}$ 过定点 $(1 ， 3)$ B、点 $P$ 的轨迹方程为 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 2$ C、点 $P$ 到点 $(3 ， 1)$ 和点 $(1 ， 3)$ 距离之和的最大值为 $4 \sqrt{2}$ D、点 $P$ 到坐标原点 $O$ 的距离的最小值为 $2 \sqrt{2}$

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8. 已知函数 $f (x) = a x^{3} - 3 a x^{2} + b$ ，其中实数 $a > 0 ， b \in R$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $f (x)$ 必有两个极值点 B、 $y = f (x)$ 有且仅有3个零点时， $b$ 的范围是 $(0 ， 6 a)$ C、当 $b = 2 a$ 时，点 $(1 ， 0)$ 是曲线 $y = f (x)$ 的对称中心 D、当 $5 a < b < 6 a$ 时，过点 $A (2 ， a)$ 可以作曲线 $y = f (x)$ 的3条切线

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二、多选题

9. 设复数z在复平面内对应的点为Z，i为虚数单位，则下列说法正确的是（）

A、若 $z = \sqrt{3} - 2 i$ ，则z的虚部为－2i B、若|z|＝1，则z＝±1或z＝±i C、若点Z坐标为（－1，3），且z是关于x的实系数方程x²＋px＋q＝0的一个根，则p＋q＝12 D、若 $1 \leq | z - 2 i | \leq \sqrt{2}$ ，则点Z的集合所构成的图形的面积为π

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10. 下列不等关系中成立的是（）

A、 $l o g_{4} 3 < l o g_{3} 4$ B、 $π l n \sqrt{3} > 3 l n \sqrt{π}$ C、 $l n π < \sqrt{\frac{π}{e}}$ D、 ${(\frac{1}{3})}^{\frac{2}{3}} < {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{3}}$

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11. 在三棱锥 $V - A B C$ 中，已知 $∠ V A B = ∠ V A C = ∠ A B C = 9 0^{∘}$ ，则（）

A、 $A B$ 与 $V C$ 成角 $9 0^{∘}$ B、平面 $V A B ⊥$ 平面 $V A C$ C、平面 $V A B ⊥$ 平面 $V B C$ D、 $V C$ 与平面 $V A B$ 所成角小于 $A C$ 与平面 $V A B$ 所成角

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12. 螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图（1）所示．如图（2）所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形 $A B C D$ 的边长为4，取正方形 $A B C D$ 各边的四等分点 $E ， F ， G ， H$ ，作第2个正方形 $E F G H$ ，然后再取正方形 $E F G H$ 各边的四等分点 $M ， N ， P ， Q$ ，作第3个正方形 $M N P Q$ ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案．设正方形 $A B C D$ 边长为 $a_{1}$ ，后续各正方形边长依次为 $a_{2} ， a_{3} ， ⋯ ， a_{n} ， ⋯$ ；如图（2）阴影部分，直角三角形 $A E H$ 面积为 $b_{1}$ ，后续各直角三角形面积依次为 $b_{2} ， b_{3} ， ⋯ ， b_{n} ， ⋯$ ，下列说法正确的是（）

A、第 $3$ 个正方形 $M N P Q$ 面积为10 B、 $a_{n} = 4 \times {(\frac{\sqrt{10}}{4})}^{n - 1}$ C、使得不等式 ${a_{n}}^{2} = 4 S_{n - 1} + 4 (n - 1) - 3$ 成立的 $n$ 的最大值为3. D、数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} < 4$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立.

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x)$ 同时满足（1） $f (m n) = f (m) + f (n)$ ；（2） $(m - n) [f (m) - f (n)] < 0$ ，其中 $m > 0 ， n > 0 ， m \neq n$ ，则符合条件的一个函数解析式 $f (x)$ ＝．

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14. 已知正方形ABCD的边长为4，中心为O，圆O的半径为1，MN为圆O的直径．若点P在正方形ABCD的边上运动，则 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的取值范围是．

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15. 正四棱台高为2，上下底边长分别为 $2 \sqrt{2}$ 和 $4 \sqrt{2}$ ，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是．

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16. 若曲线 $y = e^{x}$ 在点 $A (x_{0} ， e^{x_{0}})$ $x_{0} > 0$ 处的切线也是曲线 $y = l n x$ 的切线，则 $e^{x_{0}} + 4 x_{0}$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ， $2 S_{n} = (n + 1) a_{n} (n \in N^{*})$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、对于任意的正整数 $n$ ， $c_{n} = {\begin{array}{l} \frac{1}{a_{n} a_{n + 2}} ， n 为奇数 \\ 2^{a_{n}} ， n 为偶数 \end{array}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ ．

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18. 若函数 $f (x)$ 满足 $f (l o g_{a} x) = \frac{a}{a^{2} + 1} (x - \frac{1}{x})$ ，其中 $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断并证明函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若 $0 < a < 1$ ， $f (x) + 4 > 0$ 在 $x < 2$ 时恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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19. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA＝PB＝AB＝2，平面PAB⊥平面ABCD，N是CD的中点．

(1)、若点M为线段PD上一点，且 $P B / /$ 平面AMN，求 $\frac{P M}{M D}$ 的值；

(2)、求二面角B－PA－C的正弦值；

(3)、求点N到面PAC的距离．

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20. 在① $s i n C (a c o s B + b c o s A) - a s i n B = a s i n A + b s i n B$ ；② $s i n^{2} B - s i n^{2} A = \sqrt{3} s i n B c o s B - \sqrt{3} s i n A c o s A$ 两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， $a \neq b$ ， ____．

(1)、求角C的大小；

(2)、若∠ACB的角平分线CD交线段AB于点D，且 $C D = 4 ， B D = 4 A D$ ，求△ABC的面积．

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21. 已知圆O：x²＋y²＝16，点A（6，0），点B为圆O上的动点，线段AB的中点M的轨迹为曲线C．

(1)、求曲线C的方程；

(2)、设T（2，0），过点T作与x轴不重合的直线l交曲线C于E、F两点．
（i）过点T作与直线l垂直的直线m交曲线C于G、H两点，求四边形EGFH面积的最大值；
（ii）设曲线C与x轴交于P、Q两点，直线PE与直线QF相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．

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22. 函数 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = s i n x$ ．

(1)、求函数 $y = \frac{g (x)}{f (x)}$ 的单调递增区间；

(2)、当 $x \in [0 ， π]$ 时， $g (x) - t l n (x + 1) + 2 \leq 2 f (x)$ ，求实数 $t$ 的取值范围．

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