黑龙江省齐齐哈尔市八校联合体2022-2023学年高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-11-11 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 2^{x} < 16 ， x \in N}$ ， $B = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$ B、 ${0 ， 1 ， 2}$ C、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ D、 ${0 ， 4}$

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2. 已知复数 $z = \frac{3 + i}{1 - i}$ ，则 $| \bar{z} + 3 i | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{5}$

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3. 一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是（）

A、三棱锥 B、四棱锥 C、五棱锥 D、六棱锥

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4. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，数列 ${b_{n}}$ 是等比数列， $a_{7} + a_{9} = \frac{4 π}{3}$ ，且 $b_{2} b_{6} b_{10} = 8$ ， $\frac{a_{3} + a_{8} + a_{13}}{b_{4} b_{8} - 1} =$ （）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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5. 在平行四边形ABCD中， $A B = 4$ ， $B C = 2$ ， $∠ D = \frac{2 π}{3}$ ，点E在边CB的延长线上，若 $A E = 4$ ， $\vec{A E} \cdot \vec{A C} =$ （）.

A、4 B、8 C、10 D、12

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6. 已知角α满足 $2 s i n (α - \frac{π}{3}) = t a n \frac{π}{12} c o s α$ ，则 $s i n 2 α + 2 c o s^{2} α$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{6}{5}$ C、 $\frac{7}{5}$ D、 $\frac{8}{5}$

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7. 已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为 $\frac{7}{8}$ ， SA与圆锥底面所成角为45°.若 $△ S A B$ 的面积为 $5 \sqrt{15}$ ，则该圆锥的侧面积为（）.

A、 $20 \sqrt{2} π$ B、 $30 \sqrt{2} π$ C、 $40 \sqrt{2} π$ D、 $50 \sqrt{2} π$

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8. 已知定义在R上的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (x - \frac{3}{2}) - f (- x - \frac{3}{2}) = 0$ ， $f (2022) = \frac{1}{e}$ ，若 $f (x) > f^{'} (- x)$ ，则不等式 $f (x + 2) > \frac{1}{e^{x}}$ 的解集为（）

A、 $(- ∞ ， 0)$ B、 $(- \infty ， 1)$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $(3 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 各项均为正数，满足 $a_{2} \cdot a_{16} = 16$ ， $\frac{a_{6} + a_{7}}{a_{3} + a_{4}} = \frac{1}{8}$ ，记等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项的积为 $T_{n}$ ，则当 $T_{n}$ 取得最大值时， $n =$ （）

A、8 B、9 C、10 D、11

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10. 已知平面 $\vec{a} = (3 ， 4)$ ， $\vec{b} = (7 ， 1)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b} = (10 ， 5)$ B、 $| \vec{b} | = 10 | \vec{a} |$ C、 $\vec{a} ∥ (\vec{a} - \vec{b})$ D、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $45 °$

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11. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，大正方形 $A B C D$ 由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成，其中小正方形的边长为1，E为 $D F$ 的中点，则（）

A、 $c o s ∠ E A D = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $| \vec{A D} + \vec{A E} | = \sqrt{17}$ C、 $\vec{A E} = \frac{4}{5} \vec{A D} + \frac{2}{5} \vec{A B}$ D、 $\vec{A B} \cdot \vec{A E} = \frac{8}{5}$

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12. 已知函数 $y = 2 s i n (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在区间 $(\frac{π}{3} ， π)$ 上有且仅有一个零点，则 $ω$ 的取值可以为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、2

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三、填空题

13. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} = λ \cdot 3^{n - 1} - 1 (λ \in R)$ ，则 $\frac{2 (S_{8} + 1)}{a_{7}} =$ .

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14. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $\sqrt{3}$ ，点E为棱 $D_{1} C_{1}$ 上一动点，点F为棱 $B B_{1}$ 上一动点，且满足 $E F = 2$ ，则三棱锥 $B_{1} - E F C_{1}$ 体积取最大值时，则三棱锥 $B_{1} - E F C_{1}$ 外接球的体积为.

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15. 圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的必到景点，其集圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为 $15 (\sqrt{3} - 1)$ 米，在它们之间的地面上的点M（B、M、D三点共线）处测得楼顶A和教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为米.

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16. 在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是线段BD上的一动点，若 $\vec{A F} = x \vec{A E} + y \vec{D C} (x > 0 ， y > 0)$ ，则 $\frac{2 - 3 x}{2 y^{2} + 1}$ 的最大值为.

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四、解答题

17. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $2 \vec{a} + \vec{b} = (2 m + 5 ， 4)$ ， $\vec{a} + 3 \vec{b} = (m + 10 ， - 3)$ ，其中 $m \in R$ .

(1)、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，求实数m的值.

(2)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，若 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ 夹角的余弦值.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}}$ ，设 $T_{n}$ 是数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，求证 $T_{n} > \frac{n}{n + 1}$ ．

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19. 在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且满足 $\frac{c}{c o s C} = \frac{a + b}{c o s A + c o s B}$

(1)、求角C的大小；

(2)、若 $c = \sqrt{3}$ ，角A与角B的内角平分线相交于点D，求 $△ A B D$ 面积的取值范围.

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20. 已知向量a＝(cos²ωx－sin²ωx，sinωx)，b＝( $\sqrt{3}$ ， 2cosωx)，设函数f(x)＝a·b(x∈R)的图象关于直线x＝ $\frac{π}{2}$ 对称，其中ω为常数，且ω∈(0，1)．

(1)、求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；

(2)、若将y＝f(x)图象上各点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{6}$ ，再将所得图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，纵坐标不变，得到y＝h(x)的图象，若关于x的方程h(x)＋k＝0在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．

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21. 如图，水平面上摆放了两个相同的正四面体 $P A B D$ 和 $Q A B C$ ．

(1)、求证： $P Q ⊥ A B$ ；

(2)、求二面角 $Q - A P - B$ 的余弦值．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{a}{x^{2}} + 2 l n x (a > 0) ， g (x) = x^{3} - x^{2}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若对于任意的 $x_{1} \in (0 ， 2]$ ，都存在 $x_{2} \in [1 ， 2]$ ，使得 $x_{1} f (x_{1}) ⩾ g (x_{2})$ 成立，试求实数 $a$ 的取值范围.

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