北京市通州区2023届高三上学期数学期中质量检测试卷

试卷更新日期：2022-11-11 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 0 < x \leq 4}$ ， $B = {- 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${2}$ B、 ${2 ， 3}$ C、 ${2 ， 3 ， 4}$ D、 ${2 ， 3 ， 4 ， 5}$

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2. 在复平面内，复数 $z = i (2 + i)$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则复数 $z$ 对应的点 $Z$ 在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知 $\vec{a} = (1 ， - 2)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， x)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则实数 $x$ 的值为（）

A、 $- 4$ B、 $4$ C、 $- 1$ D、 $1$

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4. 已知函数 $f (x) = - \frac{1}{2} + \frac{1}{1 + 2^{x}}$ ，则对任意实数x，有（）

A、 $f (- x) + f (x) = 0$ B、 $f (- x) - f (x) = 0$ C、 $f (- x) + f (x) = - 1$ D、 $f (- x) + f (x) = 1$

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5. 已知函数 $f (x)$ 在区间 $(a ， b)$ 上恒有 $f^{'} (x) > 0$ ，对于 $x_{1} ， x_{2} \in (a ， b)$ ，则“ $x_{1} > x_{2}$ ”是“ $f (x_{1}) > f (x_{2})$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + 1$ ，记 $b_{n} = a_{2 n - 1}$ ，则数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为（）

A、 $n^{2}$ B、 $(n + 1)^{2}$ C、 $\frac{n (n + 1)}{2}$ D、 $n (n + 1)$

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7. 设函数 $f (x) = s i n (ω x - \frac{π}{6}) + k (ω > 0)$ ，若 $f (x) \leq f (\frac{π}{3})$ 对任意的实数x都成立，则ω的一个可取值为（）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $7$ D、 $8$

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8. $0.618$ 是无理数 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的近似值，被称为黄金比值.我们把腰与底的长度比为黄金比值的等腰三角形称为黄金三角形.如图， $△ A B C$ 是顶角为 $A$ ，底 $B C = 2$ 的第一个黄金三角形， $△ B_{1} C A$ 是顶角为 $B_{1}$ 的第二个黄金三角形， $△ C_{1} B_{1} C$ 是顶角为 $C_{1}$ 的第三个黄金三角形， $△ B_{2} C C_{1}$ 是顶角为 $B_{2}$ 的第四个黄金三角形…，那么依次类推，第 $2022$ 个黄金三角形的周长大约为（）

A、 $2.236 \times 0.61 8^{2021}$ B、 $2.236 \times 0.61 8^{2022}$ C、 $4.472 \times 0.61 8^{2021}$ D、 $4.472 \times 0.61 8^{2022}$

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9. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = \frac{2 π}{3}$ ， $A C$ 边的中点为D，且 $B D = 1$ ，则 $B A \cdot B C$ 的最大值为（）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $4$

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l n (2 - x) ， x \leq 1 ， \\ - x^{2} + 1 ， x > 1 ， \end{array}$ 设 $g (x) = | f (x) | - a x + a$ ，若函数 $g (x)$ 有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， 0)$ B、 $[0 ， 2]$ C、 $(2 ， + \infty)$ D、 $(- 1 ， 0) ∪ (2 ， + \infty)$

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二、填空题

11. 函数 $f (x) = l n (x + 1) - \frac{1}{x}$ 的定义域是.

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12. 已知命题 $p$ ：“ $\forall x \in R ， x^{2} + x \geq 1$ ”，则 $p$ 的否定是.

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13. 已知复数 $z_{1} = 2 + a i$ $(a \in R)$ ， $z_{2} = 3 + i$ ，如果 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 为纯虚数，那么 $a =$ .

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14. 已知矩形 $A B C D$ ， $A B = 3$ ， $A D = 4$ ． $P$ 为矩形 $A B C D$ 所在平面内一点， $P A = 1$ ， $P C = 2 \sqrt{6}$ ．则 $\vec{P B} \cdot \vec{P D} =$ ．

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15. 已知 $△ A B C$ 满足 $\vec{B C} \cdot \vec{C A} > 0$ .给出下列四个结论：
① $△ A B C$ 为锐角三角形；
② $s i n A < c o s B$ ；
③ ${\vec{A B}}^{2} > {\vec{C B}}^{2} + {\vec{C A}}^{2}$ ；
④ $c o s A c o s B > s i n A s i n B$ .
其中所有正确结论的序号是.

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16. 过原点作曲线 $y = e^{x}$ 的切线，则切点的坐标为，切线的斜率为．

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = 2 s i n x c o s x - \sqrt{3} c o s 2 x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值.

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18. 在 $△ A B C$ 中，三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ （ $b > c$ ），且 $a = 7$ ， $c = 5$ ， $C = \frac{π}{4}$ .

(1)、求 $s i n A$ 的值；

(2)、设 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 的值.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 为公比不为 $1$ 的等比数列，数列 ${b_{n}}$ 为等差数列，且 $a_{1} = 2$ ， $b_{1} = 1$ ，再从条件①，条件②，条件③中任选两个作为已知，求：
条件①： $a_{1} + a_{2} = 6$ ；
条件②： $2 b_{1} + a_{3} = b_{4}$ ；
条件③： $b_{1} + b_{2} + b_{3} = 3 a_{2}$ .
注：如果选择多种符合要求的条件分别解答，按第一种解答计分．

(1)、求 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = b_{a_{n}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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20. 已知函数 $f (x) = l n x + \frac{a}{x} - 1$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、当 $a = 1$ 时， $\forall s ， t$ ，且 $s > t > 0$ ，请判断 $l n s - l n t$ 与 $\frac{s - t}{s}$ 的大小.（只要求写出结论）

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} s i n x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、设 $g (x) = f^{'} (x)$ ，试判断曲线 $y = g (x)$ 与直线 $y = 2 x$ 在区间 $(0 ， π)$ 上交点的个数，并说明理由.

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22. 已知无穷数列 ${a_{n}}$ ，若无穷数列 ${b_{n}}$ 满足： $\forall n \in N^{*}$ ，都有 $| b_{n} - a_{n} | \leq 1$ ，则称 ${b_{n}}$ 与 ${a_{n}}$ “接近”.

(1)、设 $a_{n} = (\frac{1}{2})^{n - 1}$ ， $b_{n} = 2 \times (\frac{1}{3})^{n} + 1$ ，试判断 ${b_{n}}$ 与 ${a_{n}}$ 是否“接近”，并说明理由；

(2)、若数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 均为等差数列，他们的公差分别为 $d_{1}$ ， $d_{2}$ .求证： ${b_{n}}$ 与 ${a_{n}}$ “接近”的必要条件是“ $d_{1} = d_{2}$ ”；

(3)、已知数列 ${a_{n}}$ 是公差为 $d$ 的等差数列，若存在数列 ${b_{n}}$ 满足： ${b_{n}}$ 与 ${a_{n}}$ “接近”，且 $b_{2} - b_{1}$ ， $b_{3} - b_{2}$ ， $b_{4} - b_{3}$ ， $⋯$ ， $b_{201} - b_{200}$ 中至少有100个正数，求 $d$ 的取值范围.

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