浙江省浙东北联盟2022-2023学年高二上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-11-11 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 某校举行演讲比赛，邀请7位评委分别给选手打分，得到7个原始评分．在评定选手成绩时，从这7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分．这5个有效评分与7个原始评分相比，数字特征保持不变的是（）

A、众数 B、标准差 C、平均数 D、中位数

查看试题解析
2. 已知 $A (1 ， 2)$ ， $B (- 3 ， t)$ ， $C (5 ， - 6)$ 三点共线，则实数 $t =$ （）

A、10 B、4 C、－4 D、－10

查看试题解析
3. 若点 $A (a ， 2)$ 不在圆 $(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 5 a$ 的外部，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[1 ， 5]$ B、 $[2 ， 5]$ C、 $[3 ， 5]$ D、 $[4 ， 5]$

查看试题解析
4. 某旅行社统计了三条路线的旅游人数，具体分布如下表（每人参加且仅参加一条路线）：

南北湖景区
东湖景区
西塘古镇景区
男性
30
60
$x$
女性
50
40
60
现要对这三条路线的选择情况进行抽样调查，从参加这三条路线的人中采用按小组分层随机抽样的方法抽取60人，从参加南北湖景区路线的人中抽出16人，则 $x =$ （）

A、30 B、60 C、80 D、100

查看试题解析
5. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 2)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ．若斜率为1，且过点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $P$ ， $Q$ 两点，则 $△ P Q F_{1}$ 的周长为（）

A、4 B、6 C、8 D、12

查看试题解析
6. 已知直线 $l_{1}$ ： $2 x + (1 - a) y + 4 = 0$ ， $l_{2}$ ： $a x - 3 y - 4 = 0$ ，则“ $a = 3$ ”是“ $l_{1} ∥ l_{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
7. 已知点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (1 ， 0)$ ，若直线 $l$ ： $k x - y = 0$ 上存在点 $P$ ，使得 $| P B | = 2 | P A |$ ，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $[- \frac{\sqrt{2}}{3} ， \frac{\sqrt{2}}{3}]$ B、 $[- \frac{\sqrt{5}}{3} ， \frac{\sqrt{5}}{3}]$ C、 $[- \frac{4}{3} ， \frac{4}{3}]$ D、 $[- \frac{5}{3} ， \frac{5}{3}]$

查看试题解析
8. 已知椭圆 $C_{1}$ 与双曲线 $C_{2}$ 有相同的焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，其中 $F_{2}$ 为右焦点，两曲线在第一象限的交点为 $P$ ，离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ．若线段 $P F_{2}$ 的中垂线经过点 $F_{1}$ ，则 $\frac{1}{e_{1}} + \frac{1}{e_{2}} =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、3

查看试题解析

二、多选题

9. 有一组样本数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ ，由这组数据得到新的样本数据 $2 x_{1}$ ， $2 x_{2}$ ， …， $2 x_{n}$ ，则（）

A、新样本数据的极差是原样本数据极差的2倍 B、新样本数据的方差是原样本数据方差的2倍 C、新样本数据的中位数是原样本数据中位数的2倍 D、新样本数据的平均数是原样本数据平均数的2倍

查看试题解析
10. 已知曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{n} = 1 (m n \neq 0)$ ，则（）

A、若 $m = n < 0$ ，则曲线 $C$ 为圆 B、若 $m n < 0$ ，则曲线 $C$ 为双曲线 C、若曲线 $C$ 为焦点在 $x$ 轴上的椭圆，则其离心率 $e = \sqrt{1 - \frac{m}{n}}$ D、若曲线 $C$ 为焦点在 $y$ 轴上的双曲线，则其渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{- \frac{n}{m}} x$

查看试题解析
11. 已知圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y + 2 = 0$ 与圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 2 = 0$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，则（）

A、 $△ A B C_{1}$ 的面积为 $\sqrt{2}$ B、直线 $A B$ 的方程为 $x + y - 2 = 0$ C、在经过 $A$ ， $B$ 两点的所有圆中， $C_{2}$ 的面积最小 D、若 $P (x ， y)$ 是圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 边界及内部的一点，则 $\frac{3 - 2 \sqrt{6}}{3} \leq \frac{y + 2}{x - 2} \leq \frac{\sqrt{15}}{3}$

查看试题解析
12. 1675年，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：在同一平面内，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设定点 $F_{1} (- c ， 0)$ ， $F_{2} (c ， 0)$ ，其中 $c > 0$ ，动点 $P (x ， y)$ 满足 $| P F_{1} | \cdot | P F_{2} | = a^{2}$ （ $a \geq 0$ 且 $a$ 为常数），化简可得曲线 $C$ ： $x^{2} + y^{2} + c^{2} = \sqrt{4 c^{2} x^{2} + a^{4}}$ ，则（）

A、原点 $O$ 在曲线 $C$ 的内部 B、曲线 $C$ 既是中心对称图形，又是轴对称图形 C、若 $a = c$ ，则 $| O P |$ 的最大值为 $\sqrt{2} a$ D、若 $0 < a \leq \sqrt{2} c$ ，则存在点 $P$ ，使得 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$

查看试题解析

三、填空题

13. 已知抛物线 $C$ 的顶点为原点，准线为 $y = - 1$ ，则抛物线 $C$ 的方程为．

查看试题解析
14. 在某次数学测验中，6位学生的成绩分别为：78，85， $t$ ， 82，75，80，他们的平均成绩为81，则他们成绩的75%分位数为．

查看试题解析
15. 已知直线 $l_{1}$ ： $(a + 1) x + a y + 3 = 0$ ， $l_{2}$ ： $a x + 2 y - 4 = 0$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则实数 $a =$ ．

查看试题解析
16. 直线 $m x - y - 2 m = 0$ 与曲线 $x^{2} + y | y | = 1$ 恰有两个交点，则实数 $m$ 的取值范围为．

查看试题解析

四、解答题

17. 求满足下列条件的直线方程．

(1)、直线 $l$ 的倾斜角为 $45 °$ ，且经过点 $(3 ， 5)$ ；

(2)、直线 $l$ 过点 $(1 ， 2)$ ，且在两坐标轴上的截距相等．

查看试题解析

18. 城市道路由于通勤、施工等因素，容易出现早晚高峰．一般地，工作日早高峰时段通常在7：00－9：00，晚高峰时段通常在17：00－19：00．为了衡量某路段在某一段时间内的拥堵程度，通常采用的指标之一是路段的汽车平均行驶速度，即在该时间段通过该路段的汽车的平均速度．路段通常可分为快速路、主干路、次干路、支路，根据不同路段与汽车平均行驶速度，可将拥堵程度分为1到5级．等级划分如表（单位：

k m / h

）：

路段	等级
路段	5	4	3	2	1
快速路	$> 65$	$(50 ， 65]$	$(35 ， 50]$	$(20 ， 35]$	$\leq 20$
主干路	$> 45$	$(35 ， 45]$	$(25 ， 35]$	$(15 ， 25]$	$\leq 15$
次干路	$> 35$	$(25 ， 35]$	$(15 ， 25]$	$(10 ， 15]$	$\leq 10$
支路	$> 35$	$(25 ， 35]$	$(15 ， 25]$	$(10 ， 15]$	$\leq 10$

某大桥是连接两地的快速路．今在某高峰时段监测大桥的汽车平均行驶速度，得到如下频率分布直方图．

(1)、求车速在

(50 ， 60]

内的频率；

(2)、根据统计学知识，估计该时段大桥拥堵程度的等级．

查看试题解析

19. 平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (- 1 ， 0)$ ， $B (1 ， 0)$ ，动点 $P$ 满足 ${| P A |}^{2} + {| P B |}^{2} = 4$ ．

(1)、求点 $P$ 的轨迹方程；

(2)、过点 $P$ 作 $y$ 轴上的垂线 $P D$ ， $D$ 为垂足．若_______，当点 $P$ 运动时，求点 $M$ 的轨迹方程．
在① $\vec{P M} = \frac{1}{3} \vec{P D}$ ， ② $\vec{P M} = \frac{2}{3} \vec{P D}$ 这两个条件中任选一个，补充到横线中，并求解问题．

（若选择多个条件作答，则按照第一个解答计分）

查看试题解析
20. 已知圆 $C_{1}$ 经过点 $A (1 ， 3)$ 和 $B (2 ， 4)$ ，圆心在直线 $2 x - y - 1 = 0$ 上．

(1)、求圆 $C_{1}$ 的方程；

(2)、若 $M$ ， $N$ 分别是圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ ： ${(x + 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 9$ 上的点，点 $P$ 是直线 $x + y = 0$ 上的点，求 $| P M | + | P N |$ 的最小值，以及此时点 $P$ 的坐标．

查看试题解析
21. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 经过点 $P (2 \sqrt{2} ， \sqrt{3})$ ，焦点 $F$ 到渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 与双曲线 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点， $M (4 ， 2)$ 是弦 $A B$ 的中点，求 $A B$ 的长度．

查看试题解析
22. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} (- 1 ， 0)$ ， $F_{2} (1 ， 0)$ ，离心率 $e = \frac{1}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $P (\frac{1}{2} ， 0)$ 的直线 $l$ （异于 $x$ 轴）交椭圆 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，直线 $A F_{1}$ 与 $B F_{2}$ 交于点 $M$ ，直线 $A F_{2}$ 与 $B F_{1}$ 交于点 $N$ ．记直线 $M N$ 和 $A B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求证： $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 为定值．

查看试题解析

	南北湖景区	东湖景区	西塘古镇景区
男性	30	60	$x$
女性	50	40	60