浙江省温州新力量联盟2022-2023学年高二上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-11-11 类型：期中考试

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一、单选题

1. 椭圆6x²＋y²＝6的长轴端点坐标为（）

A、(－1，0)，(1，0) B、(－6，0)，(6，0) C、(－ $\sqrt{6}$ ， 0)，( $\sqrt{6}$ ， 0) D、(0，－ $\sqrt{6}$ )，(0， $\sqrt{6}$ )

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2. 已知平面 $α$ 的法向量为 $\vec{a} = (2 ， 3 ， - 1)$ ，平面 $β$ 的法向量为 $\vec{b} = (1 ， 0 ， k)$ ，若 $α ⊥ β$ ，则 $k$ 等于（）

A、1 B、-1 C、2 D、-2

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3. 已知直线l₁：mx－2y＋1＝0，l₂：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l₁平行于l₂”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 1$ ， $A A_{1} = \sqrt{3}$ ，则异面直线 $A D_{1}$ 与 $D B_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{6}$ C、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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5. 已知四棱锥 $P - A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点， $\frac{C M}{C B} = \frac{1}{3}$ ， $P N = N D$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A P} = \vec{c}$ ，则向量 $\vec{M N}$ 用 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 为基底表示为（）

A、 $\vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $- \vec{a} - \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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6. 已知圆C： $x^{2} + y^{2} - 2 x - 3 = 0$ ，若直线l：ax－y＋1－a＝0与圆C相交于A，B两点，则 $| A B |$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、3 D、 $\frac{5}{2}$

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7. 已知 $M$ 为圆 $P ： (x + 2)^{2} + y^{2} = 36$ 的一个动点，定点 $Q (2 ， 0)$ ，线段 $M Q$ 的垂直平分线交线段 $P M$ 于 $N$ 点，则 $N$ 点的轨迹方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{32} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{32} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

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8. 如图所示，椭圆中心在原点，F是左焦点，直线 $A B_{1}$ 与BF交于点D，且 $∠ B D B_{1} = 90 °$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ C、 $\sqrt{\frac{\sqrt{5} - 1}{2}}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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二、多选题

9. 直线l过点 $P (1 ， 2)$ 且斜率为k，若与连接两点 $A (- 1 ， - 3)$ ， $B (3 ， - 2)$ 的线段有公共点，则k的取值可以为（）

A、 $- 2$ B、1 C、2 D、4

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10. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E ， F$ 分别是 $B C ， A_{1} D_{1}$ 的中点，下列说法正确的是（）

A、四边形 $B_{1} E D F$ 是菱形 B、直线 $A C$ 与 $B C_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ C、直线 $A C_{1}$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值是 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、平面 $A_{1} B D$ 与平面 $A B C D$ 所成角的余弦值是 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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11. 已知圆O：x²+y²＝4和圆M：x²+y²－2x+4y+4＝0相交于A、B两点，下列说法正确的是（）

A、圆M的圆心为（1，－2），半径为1 B、直线AB的方程为x－2y－4＝0 C、线段AB的长为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、取圆M上点C（a，b），则2a－b的最大值为 $4 + \sqrt{5}$

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12. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ ，设 $F_{1} ､ F_{2}$ 分别为它的左右焦点， $A$ ， $B$ 分别为它的左右顶点，点 $P$ 是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（）

A、存在 $P$ 使得 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{2}$ B、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径最大为 $\frac{4}{3}$ C、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的外接圆半径最小为4 D、直线 $P A$ 与直线 $P B$ 斜率乘积为定值 $\frac{9}{25}$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， m ， - 4)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 4 ， 2)$ ，且 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则实数 $m =$ .

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14. 已知直线 $l_{1} ： x + 2 y - 4 = 0$ 与直线 $l_{2} ： 2 x + 4 y + 7 = 0$ ，则 $l_{1} ， l_{2}$ 之间的距离为.

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15. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y + 1 = 0$ ，直线 $l ： x + y - 4 = 0$ ，若在直线 $l$ 上任取一点 $M$ 作圆 $C$ 的切线 $M A ， M B$ ，切点分别为 $A ， B$ ，则 $∠ A C B$ 最小时，原点 $O$ 到直线 $A B$ 的距离为.

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16. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} ､ F_{2}$ ，点 $P$ 在椭圆上且在 $x$ 轴的下方，若线段 $P F_{2}$ 的中点在以原点 $O$ 为圆心， $O F_{2}$ 为半径的圆上，则直线 $P F_{2}$ 的斜率为.

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四、解答题

17. 已知平面内两点 $A (6 ， - 6)$ ， $B (2 ， 2)$ .

(1)、求线段 $A B$ 的中垂线方程；

(2)、求过 $P (2 ， - 3)$ 点且与直线 $A B$ 平行的直线 $l$ 的方程.

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18. 已知圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + 24 = 0$ .

(1)、圆 $O$ 的圆心和半径；

(2)、已知点 $P (2 ， 0)$ ，过点 $P$ 作圆 $O$ 的切线，求出切线方程.

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19. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = A A_{1} = 2 ，$ $E$ 是 $B C$ 中点.

(1)、求点 $A_{1}$ 到平面 $A E C_{1}$ 的的距离；

(2)、求平面 $A E C_{1}$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 夹角的余弦值；

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20. 已知直线 $y = - x + 1$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点．

(1)、若椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，焦距为 $2$ ，求椭圆的方程；

(2)、在（1）的椭圆中，设椭圆的左焦点为 $F_{1}$ ，求线段 $A B$ 的长及 $△ A B F_{1}$ 的面积．

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ A D C = 6 0^{o}$ ，平面 $P B C$ $⊥$ 平面 $A B C D$ ，且侧面 $P B C$ 为等边三角形. $E$ 为线段 $B C$ 的中点.

(1)、求证：直线 $B C ⊥ P A$ ；

(2)、在线段 $A P$ 上是否存在点 $F$ ，使得直线 $E F$ 与平面 $P A C$ 所成角的正弦值为 $\frac{3}{5}$ .

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22. 如图， $A ， B$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个顶点， $| A B | = \sqrt{5}$ ，直线 $A B$ 的斜率为 $- \frac{1}{2} ， M$ 是椭圆 $C$ 长轴上的一个动点，设点 $M (m ， 0)$ .

(1)、求椭圆的方程；

(2)、设直线 $l ： x = - 2 y + m$ 与 $x ， y$ 轴分别交于点 $M ， N$ ，与椭圆相交于 $C ， D$ ，探究 $△ O C M$ 的面积与 $△ O D N$ 的面积的关系；并且证明.

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