湖北省新高考联考协作体2022-2023学年高二上学期数学期中模拟试卷

试卷更新日期：2022-11-11 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若 $z = \frac{a + i}{1 - i}$ （ $i$ 为虚数单位）是纯虚数，则 $a =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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2. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， m) ， \vec{b} = (2 ， 4)$ ，若 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} |$ 等于（）

A、3 B、 $\frac{\sqrt{85}}{2}$ C、 $3 \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{5}$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 1 ， 0)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 0 ， 2)$ ，且 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 互相垂直，则 $k$ 的值是（）

A、 $\frac{7}{5}$ B、2 C、 $\frac{5}{3}$ D、1

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4. 按从小到大顺序排列的 9个数据：10，16，25，33，39，43，m，65，70，若这组数据的第一四分位数与第三四分位数的和是73，则 $m$ 等于（）

A、40 B、45 C、48 D、62

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5. 一束光线从点 $P (- 1 ， 2)$ 出发，经 $x$ 轴反射到圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 8 x - 6 y + 23 = 0$ 上的最短距离为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $5 \sqrt{2}$ C、 $5 \sqrt{2} - 2$ D、 $5 \sqrt{2} + 2$

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6. 在棱长为1的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，点M，N分别是棱BC，CC₁的中点，动点P在正方形BCC₁B₁（包括边界）内运动．若 $P A_{1} / /$ 平面AMN，则PA₁的最小值是（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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7. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆 $C$ ： $x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 2$ ，点 $A$ 是 $x$ 轴上的一个动点， $A P$ ， $A Q$ 分别切圆C于P，Q两点，则线段 $P Q$ 长的取值范围是（　　）

A、 $[\frac{2 \sqrt{7}}{3} ， 2 \sqrt{2})$ B、 $[\frac{2 \sqrt{14}}{3} ， 2 \sqrt{2})$ C、 $[\frac{2 \sqrt{5}}{3} ， 2 \sqrt{3})$ D、 $[\frac{2 \sqrt{3}}{3} ， 2 \sqrt{5})$

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8. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点 $P (x_{0} ， y_{0})$ （ $x_{0} \geq 0$ ）使得 $∠ P F_{1} F_{2} = 30 °$ ，则椭圆的离心率的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2})$ B、 $(0 ， \frac{\sqrt{3}}{2}]$ C、 $[\frac{1}{2} ， 1)$ D、 $[\frac{\sqrt{3}}{2} ， 1)$

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二、多选题

9. 建三江国际家乐购大型超市因为开车前往购物的人员较多，因此超市在制定停车收费方案时，需要考虑顾客停车时间的长短．现随机采集了200个停车时间的数据（单位：min），其频率分布直方图如下：
超市决定对停车时间在40分钟及以内的顾客免收停车费（同一组数据用该区间的中点值代替），则下列说法正确的是（）

A、 $a = 0.0225$ B、免收停车费的顾客约占总数的25% C、开车购物的顾客的平均停车时间约为58min D、所采集数据中停车时间在区间 $[60 ， 80)$ 的最多，可以将70作为众数的估计值

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10. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题中正确的有（）

A、若 $\frac{a}{c o s A} = \frac{b}{c o s B} = \frac{c}{c o s C}$ ，则△ABC一定是等边三角形 B、若 $a c o s A = b c o s B$ ，则△ABC一定是等腰三角形 C、 $A > B$ 是 $s i n A > s i n B$ 成立的充要条件 D、若 $a^{2} + b^{2} - c^{2} > 0$ ，则△ABC一定是锐角三角形

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11. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2 ， E ， F ， G$ 分别为棱 $B C ， C C_{1} ， B B_{1}$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、直线 $E F$ 到平面 $A_{1} A D D_{1}$ 的距离为2 B、点 $A_{1}$ 到平面 $A E F$ 的距离为 $\frac{4}{3}$ C、点 $A_{1}$ 到直线 $A F$ 的距离为 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ D、点 $C$ 与点 $G$ 到平面 $A E F$ 的距离相等

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12. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点 $A ， B$ 的距离之比为定值 $λ (λ \neq 1)$ 的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”在平面直角坐标系中，已知 $A (- 4 ， 2) ， B (2 ， 2)$ 点 $P$ 满足 $\frac{| P A |}{| P B |} = 2$ ，设点 $P$ 的轨迹为圆 $C$ ，则下列说法正确的是（）

A、圆 $C$ 的方程是 $(x - 4)^{2} + (y - 2)^{2} = 16$ B、过点 $A$ 向圆 $C$ 引切线，两条切线的夹角为 $\frac{π}{3}$ C、过点 $A$ 作直线 $l$ ，若圆 $C$ 上恰有三个点到直线 $l$ 的距离为 $2$ ，则该直线的斜率为 $\pm \frac{\sqrt{15}}{5}$ D、过直线 $3 x + 4 y = 60$ 上的一点 $P$ 向圆 $C$ 引切线 $P M ， P N$ ，则四边形 $P M C N$ 的面积的最小值为 $16 \sqrt{3}$

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三、填空题

13. 端午节吃粽子是我国的传统习俗，若一盘中共有两种粽子，其中3个蜜枣粽子，4个蛋黄粽子，现从盘中任取2个都是相同馅粽子的概率为；

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14. 四面体A﹣BCD中，AB＝CD＝5， $A C = B D = \sqrt{34}$ ， $A D = B C = \sqrt{41}$ ，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为．

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15. 几何学史上有一个著名的米勒问题：“如图，点M，N是锐角∠AQB的一边QA上的两点，试在QB边上找一点P，使得∠MPN最大”.如图，其结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy中，给定两点M（1，2），N（3，4），点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标为.

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16. “蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上．称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔 $\cdot$ 蒙日（1746-1818）最先发现．若椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ， $P$ 为椭圆 $C$ 上一动点，过 $P$ 和原点作直线 $l$ 与椭圆 $C$ 的蒙日圆相交于 $M ， N$ ，则 $\frac{| P M | \cdot | P N |}{| P F_{1} | \cdot | P F_{2} |} =$ ．

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四、解答题

17. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $2 c o s C (a c o s B + b c o s A) = c$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $c = \sqrt{7}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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18. 某学校为了解学校食堂的服务情况，随机调查了50名就餐的教师和学生.根据这50名师生对餐厅服务质量进行评分，绘制出了频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组为 $[40 ， 50) ， [50 ， 60) ， ⋯ ， [90 ， 100]$ .

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值；

(2)、从评分在 $[40 ， 60)$ 的师生中，随机抽取2人，求此人中恰好有1人评分在 $[40 ， 50)$ 上的概率；

(3)、学校规定：师生对食堂服务质量的评分不得低于75分，否则将进行内部整顿，试用组中数据估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是菱形， $∠ B A D = 60 °$ ， E是 $P B$ 的中点，且 $D E = \sqrt{2}$ ， $B E = \sqrt{2}$ .

(1)、证明： $B D ⊥$ 平面 $A C E$ ；

(2)、若 $P D = A B$ ， $P D ⊥ A C$ ，求二面角 $A - D E - C$ 的正弦值.

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20. 已知圆心在直线 $x + y - 1 = 0$ 上且过点 $A (2 ， 2)$ 的圆 $C_{1}$ 与直线 $3 x - 4 y + 5 = 0$ 相切，其半径小于5，若圆 $C_{2}$ 与圆 $C_{1}$ 关于直线 $x - y = 0$ 对称．

(1)、求圆 $C_{2}$ 的方程；

(2)、过直线 $y = 2 x - 6$ 上一点 $P$ 作圆 $C_{2}$ 的切线 $P C ， P D$ ，切点为 $C ， D$ ，求四边形 $P C C_{2} D$ 面积的最小值及此时直线 $C D$ 的方程.

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是直角梯形，其中 $A D ∥ B C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} B C = 2$ ， $P A = 4$ ， $E$ 为棱 $B C$ 上的点，且 $B E = \frac{1}{4} B C$ .

(1)、求证： $D E ⊥$ 平面 $P A C$ .

(2)、求二面角 $A - P C - D$ 的平面角的余弦值.

(3)、若点 $Q$ 在棱 $C P$ 上（不与点 $C$ ， $P$ 重合），直线 $Q E$ 能与平面 $P C D$ 垂直吗？若能，求出 $\frac{C Q}{C P}$ 的值；若不能，请说明理由.

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22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，F₁ ， F₂分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ＞ b ＞ 0)$ 的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，且 $△$ BF₁F₂是边长为2的等边三角形．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、过右焦点F₂的直线l与椭圆交于A，C两点，记 $△$ ABF₂ ， $△$ BCF₂的面积分别为S₁ ， S₂ ，若S₁=2S₂ ，求直线l的斜率．

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